[发明专利]一种任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法

权利要求书

1.一种任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1)板的广义位移和广义力的任意边界条件方程由改进傅立叶级数表示，比传统傅立叶级数收敛速度快一个数量级；

所述步骤S1中板的广义位移和力的边界条件由改进傅立叶级数表示，具体包括先用变分原理导出如式组1所示的板的位移和力的边界条件：

其中，w表示位移，φ_x和φ_y表示转角，m_xx，m_yy表示弯矩，v_x，v_y表示剪切力，v表示泊松比；

再引入改进傅立叶级数表示板的位移和力的边界条件；若采用f(x)表示力边界条件方程v_x(x)或m_xx(x)，f(y)表示力边界条件方程v_y(y)或m_yy(y)；d(x)表示位移边界条件方程w(x)或φ_x(x)，d(y)表示位移边界条件方程w(y)或φ_y(y)，采用改进傅立叶级数分别表示如式2与式3：

为x方向的改进傅立叶基函数，F_m和D_m分别为平行于x方向的板边界上力边界和位移边界方程对应的改进傅立叶级数的第m阶系数；为y方向的改进傅立叶基函数，F_n和D_n分别为平行于y方向的板边界上力边界和位移边界方程对应的改进傅立叶级数的第n阶系数；采用改进傅立叶级数描述有限域的一维非周期性函数时，收敛速度比传统傅立叶级数快一个数量级；

S2)采用改进傅立叶级数推导出板单元的屈曲控制微分方程的精确形函数；

所述步骤S2中板单元结构的控制微分方程表示为式4，所述步骤S1中引用改进傅立叶级数推导出的板结构的精确形函数w(x，y)表示为式5：

其中，(x，y)∈[-a，a]×[-b，b]，a和b为板的长和宽，D是板的弯曲刚度，k是温克勒地基的刚度，N_x、N_y为面内载荷，为x方向的改进傅立叶基函数，为将代入控制微分方程推导出的y方向的通解，为y方向的改进傅立叶基函数，为将代入控制微分方程推导出的x方向的通解；

S3)对精确形函数进行符号计算建立映射板的边界广义位移系数与边界广义力系数的单元谱刚度矩阵；

S4)本方法中板的谱刚度单元矩阵可直接组合成总体谱刚度矩阵，用以描述复杂板组合结构，组装过程类似于有限元法；

S5)任意施加的力和位移边界条件表示成改进傅立叶系数形式直接施加到总体谱刚度矩阵；

S6)采用Wittrick-Williams算法和二分法相结合得到板组合结构的临界屈曲载荷和模态，且该步骤具体包括以下过程：

利用高斯圆原理求得J_G，J_G为四边滑支板的模态计数；

利用J_G求得全固支板的模态计数J₀，表示如式7：

J₀＝J_G-s(K_G) (式7)；

s(K_G)为四边滑支板刚度矩阵的符号计数，即其负惯性指数；

利用J₀求得任意边界下板的模态计数J，表示如式8：

J＝J₀+s(K_f) (式8)；

s(K_f)为任意边界下板刚度矩阵的符号计数，即其负惯性指数；

再引用二分法原理求得板组合结构的临界屈曲载荷，以及利用板组合结构的形函数求得其模态。

2.根据权利要求1所述的一种任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法，其特征在于，所述步骤S3中对精确形函数进行符号计算建立映射板的边界广义位移系数与边界广义力系数的单元谱刚度矩阵，表示如式6：

f＝Kd (式6)；

f和d分别为板单元的广义边界力和位移的改进傅立叶系数，K为单元谱刚度矩阵。