[发明专利]一种渐开线直齿轮传动系统动态特性求解方法

权利要求书

1.一种渐开线直齿轮传动系统动态特性求解方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤S1：基于集中质量法建立渐开线直齿轮传动系统非线性动力学模型；

步骤S2：考虑时变啮合刚度、动态传递误差、摩擦、偏心、修形、间隙、重力和非线性轴承力，基于拉格朗日方程推导渐开线直齿轮传动系统非线性动力学方程；

所述步骤S2的具体步骤如下：

步骤S21：根据拉格朗日方程，分别建立非保守系统广义坐标X，系统的动能T，势能U，耗散函数R，系统除粘性耗散力以外的非保守广义力P和渐开线直齿轮传动系统非线性动力学方程，其表达式如下：

X＝[θ_p x₁ y₁ θ₁ x₂ y₂ θ₂ x_b1 y_b1 x_b2 y_b2 x_b3 y_b3 x_b4 y_b4 θ_q]^T (4)

上式中，J_p、J_q、J₁、J₂分别表示输入端转动惯量、输出端转动惯量、主动轮转动惯量、从动轮转动惯量，m₁、m₂、m_bi(i＝1～4)分别表示主动轮质量、从动轮质量和四个轴承的质量，r_b1、r_b2为主、从动齿轮基圆半径，L_p1、L_p2、L_g1、L_g2为齿对1、2摩擦力对主、从动齿轮力臂，ρ₁、ρ₂为主、从动齿轮偏心量，η_i(i＝1～4)为齿轮位置系数，δ_x1、δ_x2、δ_y1、δ_y2为主、从动轴分别沿x，y方向的弹性变形，ε为重合度，g为重力加速度；k_t1、k_t2分别表示中心轴1、2扭转刚度，c_t1、c_t2分别表示中心轴1、2扭转阻尼，k_s1、k_s2分别表示中心轴1、2弯曲刚度，c_s1、c_s2分别表示中心轴1、2弯曲阻尼，k_bxi,k_byi(i＝1～4)表示四个轴承处沿x,y方向的刚度，c_bxi,c_byi(i＝1～4)表示四个轴承处沿x,y方向的阻尼；M_p、M_q分别表示输入扭矩、输出扭矩，F_f1、F_f2为啮合齿对1、2的摩擦力，F_m1、F_m2为啮合齿对1、2的动态啮合力，F_bxi,F_byi(i＝1～4)表示四个轴承处沿x,y方向的非线性轴承力；

步骤S22：计算时变啮合刚度，其计算公式为：

式中，分别为啮合齿对1、2的时变啮合刚度；平均啮合刚度k_d＝k₀+A₀/2，k₀＝k_max(ε-1)+k_min(2-ε)，A₀＝2Δ(2ε-3)；各谐波分量刚度幅值k_n＝4Δsin(nπ(ε-1))/nπ，，Δ＝(k_max-k_min)/2，ε为重合度，取到9阶；其中，k_max、k_min分别为时变啮合刚度最大值、最小值；ω_e为啮合频率，ω_e＝2πn₁z₁/60，n₁为主动轮转速，z₁为主动轮齿数；啮合点经过单齿啮合区和双齿啮合区的时间主动轮转速mod()为取余函数，t为时间；

步骤S23：计算动态啮合力，根据黏弹性理论，其计算公式为：

式中，F_m1、F_m2为啮合齿对1、2的动态啮合力，c_m为啮合阻尼，分别为啮合齿对1、2的时变啮合刚度，mod()为取余函数，t为时间；则由几何关系可知，动态传递误差其中，静态传递误差e(t)＝e₀+e_rsin(ω_et+φ_e)，e₀、e_r为静态传递误差的均值和波动幅值，φ_e为相位角；啮合点处修形量分别为从动轮和主动轮啮合点处修形量，其中：

式中，Δ_max为最大修形量，L为修形长度，啮合周期t₁＝ε·t₀，t₀为啮合点经过单齿啮合区和双齿啮合区的时间，ω₁为主动轮角速度，r_b1为主动轮基圆半径，mod()为取余函数，t为时间；

f(δ)为间隙函数：

式中，b为间隙，δ为动态传递误差；

步骤S24：计算摩擦力，其计算公式为：

式中，F_f1、F_f2为啮合齿对1、2的摩擦力，μ为摩擦系数，F_m1、F_m2为啮合齿对1、2的动态啮合力，方向系数和的计算公式为：

式中，齿轮从进入啮合到节圆处啮合时间t₁为啮合周期，t₀为啮合点经过单齿啮合区和双齿啮合区的时间，ω₁为主动轮角速度，r_b1和r_b2为主、从动齿轮基圆半径，r₁为主动轮分度圆半径，r_a2为从动轮齿顶圆半径，α为节圆压力角，mod()为取余函数，t为时间；

步骤S25：计算摩擦力臂，所述摩擦力臂包括齿对i的啮合点距主动轮摩擦力臂L_pi和啮合点距从动轮摩擦力臂L_gi，其计算公式分别为：

式中，r_b1和r_b2为主、从动齿轮基圆半径，r_a2为从动轮齿顶圆半径，α为节圆压力角，ω₁为主动轮角速度，t₀为啮合点经过单齿啮合区和双齿啮合区的时间，mod()为取余函数，t为时间；

步骤S26：计算非线性轴承力沿x方向分力F_bx和y方向分力F_by，其计算公式为：

式中，K_c为赫兹接触刚度系数；N_b为滚珠个数；为δ_j的p次幂，当轴承为球轴承时，指数p取3/2，当轴承为滚子轴承时，指数p取10/9；H(δ_j)为Heaviside函数，δ_j≤0时，H(δ_j)＝0；δ_j＞0时，H(δ_j)＝1；

第j个滚动体与滚道的法向接触变形量δ_j为：

δ_j＝x_bjcosθ_j+y_bjsinθ_j-γ₀ (21)

式中，x_bj、y_bj为内圈中心振动位移，γ₀为轴承游隙；第j个滚动体在时间t内的转动角度为θ_j：

θ_j＝ω_b·t+2π(j-1)/N_b (22)

式中，保持架的角速度ω_b＝ω×r′/(R′+r′)，ω轴承角速度，R′、r′为轴承内外圈半径；

步骤S3：基于Runger-Kutta法求解渐开线直齿轮传动系统动态特性。

2.根据权利要求1所述的渐开线直齿轮传动系统动态特性求解方法，其特征在于，所述步骤S1建立的渐开线直齿轮传动系统非线性动力学模型中，在主、从动齿轮的理想中心A_i处建立固定坐标系A_i(x_i,y_i,z_i)(i＝1,2)，在轴承的理想中心B_i处建立固定坐标系B_i(x_bi,y_bi,z_bi)(i＝1～4)；坐标轴x_i，x_bi垂直于齿轮啮合线；坐标轴y_i，y_bi平行于齿轮啮合线；坐标轴z_i，z_bi穿过轴承理想中心；主、从动齿轮的旋转中心为O_i(x_i,y_i)(i＝1,2)，质心为G_i(x_gi,y_gi)(i＝1,2)；轴承的旋转中心为O_bi(x_bi,y_bi)(i＝1～4)；所述渐开线直齿轮传动系统非线性动力学模型的输入端转角为输入端扭转振动角位移为θ_p；主动轮转角为主动轮扭转振动角位移为θ₁；从动轮转角为从动轮扭转振动角位移为θ₂；输出端转角为输出端扭转振动角位移为θ_q，其关系可表示为：

式中，ω₁为主动轮角速度，ω₂为从动轮角速度，t为时间；

旋转中心O_i(x_i,y_i)(i＝1,2)与质心G_i(x_gi,y_gi)(i＝1,2)之间的关系为：

式中，ρ₁为主动轮偏心量，ρ₂为从动轮偏心量；

主、从动轴沿x,y方向的弹性变形δ_xi,δ_yi(i＝1,2)可表示为：

式中，齿轮位置系数η_i＝l_bi/l_j(i＝1,2,j＝1；i＝3,4,j＝2)；l₁，l₂为主、从动轴在两轴承间的长度；l_bi(i＝1～4)为主、从动轴上齿轮旋转中心到轴承质心的距离。