[发明专利]凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法

权利要求书

1.凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法，其特征在于：包括如下步骤，

步骤一、根据给定的着陆器初始飞行状态和末端期望状态以及飞行时间信息，构造无曲率约束的着陆轨迹二阶锥规划问题，使用内点法求解标准燃耗优化轨迹，将其作为基础解；

步骤一实现方法为，

着陆器在目标天体表面着陆的动力下降阶段，除了受到执行机构提供的控制力外，还受到目标天体引力作用、天体自旋带来的切向力和惯性力，以及在有大气行星表面受到的气动力；以预定着陆点为原点建立表面固连坐标系oxyz，其中x轴和y轴在当地基准水平面内，z轴垂直于基准水平面向上；定义着陆器质心在oxyz系中的位置矢量为速度矢量为总质量为m；整体状态矢量为三自由度动力学方程为

式中，ω为行星自旋角速度矢量，g为行星表面重力加速度矢量，F_c为执行机构输出的控制力，F_D、F_L分别为气动阻力和升力，I_sp为发动机比冲，g_E为地球海平面重力加速度的模；在凸曲率着陆轨迹燃耗优化过程中，应根据着陆任务目标行星的特性忽略自转加速度项或气动力加速度项；

动力下降段飞行时间为t₀～t_f，行星着陆轨迹的燃耗优化问题，给定初始状态Z(t₀)和末端运动状态r(t_f)、v(t_f)，以及推力幅值约束

T_min≤||T_C||≤T_max (2)

式中，T_min为发动机最小推力幅值，T_max为发动机能够提供的最大推力幅值；

优化指标J为全过程燃料消耗，即

为将上述优化问题转化为二阶锥规划形式，进行约束松弛；引入松弛变量Γ，将动力学方程(1)中质量微分方程改写为

松弛变量Γ满足约束

定义如下有关状态变量和控制变量的变量σ、u和p以将动力学方程线性化

动力学方程改写为

式中，D为控制加速度以外的环境力及各项扰动；整体状态矢量Z根据新定义的变量更新为控制矢量为

将飞行时间按照h的间隔平均分为N份，时间序列为[t₀ t₁ … t_N]，其中t_N＝t_f；变形后的动力学方程(7)经过线性化后进一步写为离散形式的状态转移矩阵

Z_k+1＝A_k·Z_k+B_k·U_k k＝1,2,…,N (8)

式中Z_k+1和Z_k分别为第k+1步和第k步的状态矢量，A_k和B_k分别为第k步状态转移递推的状态矩阵和控制矩阵；初末状态约束仍按t₀和t_N时刻状态变量的等式约束形式给出，有关推力幅值的不等式约束变形为

式中，优化指标为

至此原优化问题转化为一个满足二阶锥规划问题特征的离散参数优化问题，使用内点法得到无曲率约束情况下的标准燃耗优化轨迹，并将其作为基础解；转入步骤二；

步骤二、分析基础解的轨迹曲率特征，将轨迹凸曲率约束转化为状态矢量间的角度约束，并将角度约束进一步松弛为二阶锥约束的形式，综合实际避障需求设计带参数的约束序列函数；

步骤二实现方法为，

着陆轨迹的曲率定义为轨迹在坐标系oxyz的x-z平面和y-z平面投影曲线高度方向坐标相对于水平方向坐标的二阶导数；对于x-z平面，轨迹为几何凸曲率的条件为

对于y-z平面的凸曲率条件同理，只需将式(11)中的下标x替换为y；轨迹为几何凸曲率的条件为在采用能量最优解析制导律的条件下，由于加速度和速度、位置变量存在如下关系

所以条件(11)可简化为

r_zv_x-r_xv_z＜0 v_x＜0或r_zv_x-r_xv_z＞0 v_x＞0 (13)

着陆器从初始位置到着陆前一刻的飞行轨迹上曲率函数始终存在，即v_x≠0，则由于速度的连续性，r_x也随时间单调变化；因此着陆器沿x轴方向的运动只有两种情况：r_x＞0,v_x＜0或r_x＜0,v_x＞0；在r_x＞0,v_x＜0情况下，着陆器z方向高度与x方向水平位置的比值随时间的变化率满足

在r_x＜0,v_x＞0情况下，式(14)的变化律表达式符号相反，即小于零时曲率为凸，上述两种情况下凸曲率条件除正负号外完全相同；

从式(14)分析得到，凸曲率制导下着陆轨迹的避障优势体现在着陆器高度和水平坐标的比值单调递增，下面将该性质改写为凸约束形式；

定义速度矢量v在x-z平面内的投影矢量为v_xz＝[v_x 0 v_z]^T，位置矢量在x-z平面内的投影矢量为r_xz＝[r_x 0 r_z]^T，则式(14)等价于

-r_xz×v_xz＞0 (15)

由于式(14)、(15)所示的约束关系并非凸约束形式，为将其加入优化问题中，应对约束进行松弛；定义沿z轴负方向的单位矢量为n_dir＝[0 0 -1]^T，沿x轴负方向的单位矢量为h_dir＝[-1 0 0]^T；在r_x＞0,v_x＜0的情况下，式(14)，(15)条件成立，等价于存在一个角度θ(0＜θ＜π/2)，使得-r_xz与n_dir的夹角小于θ，同时v_xz与h_dir的夹角小于π/2-θ，即：

当角度量θ大小随时间变化的函数θ(t)已知时，式(16)所示约束为标准的二阶锥约束形式，适用于着陆轨迹凸优化问题的构建；由于着陆过程中r_z/r_x的比值单调递增，所以θ(t)应随时间单调递减，带参数的约束序列函数定义为如下函数：

式中参数b由着陆器初始状态确定，k根据实际避障需求调节；至此，凸曲率轨迹约束转化为如式(16)所示的二阶锥约束形式，并且带参数的约束序列函数θ(t)设计完成；

步骤三、根据基础解特性给定约束序列函数待调参数的基准值，并将基准值下的新约束加入原二阶锥规划问题中，使用内点法得到标准凸曲率轨迹燃耗优化解；

步骤三实现方法为，为了确定约束序列函数θ(t)中参数k和b的基准值，应确定函数在t＝0和t＝t_f的初始和末端时刻值；定义

其中，上标r代表位置矢量相关夹角，上标v代表速度矢量相关夹角，下标0和f则分别代表初始和末端时刻；对约束序列函数初值θ(0)赋值为

式中参数k₁满足0＜k₁＜1；

约束序列函数末端值θ(t_f)赋值为

式中参数k₂满足0＜k₂＜1；

将式(19)、(20)代入θ(t)表达式(17)，得参数基准值为

得到参数基准值后，将式(16)所示的新约束加入原二阶锥规划问题中，考虑到基本解初始状态有一定概率不满足该约束，因此该约束应施加在从t₁到t_f的时间段内，对t₀时刻则不做要求；随后经过内点法解算得到标准凸曲率轨迹燃耗优化解；

步骤四、从基准值出发，改变参数值，确定可行解存在的参数选取范围，得到弯曲程度不同的凸曲率燃耗优化轨迹族。