[发明专利]一种基于图论与组合优化的大规模有向图平衡划分方法

说明书

本发明具体涉及一种基于图论与组合优化的大规模有向图平衡划分方法。包括步骤：步骤1：将给定的网格转化为有向图；步骤2：迭代收缩，对待剖分有向图进行反复压缩，得到一个有向图序列；步骤3：对有向图序列中的最后一个图划分得到分块，再使该分块达到局部最优；步骤4：将得到的分块反向映射，获得待剖分有向图的分块；步骤5：递归划分，将规定的分块数分解为若干个整数的乘积，利用步骤2‑4将待剖分有向图划分为指定数目分块，分解待剖分有向图为小图，然后反复划分待剖分图，直到获得规定的分块数；步骤6：将有向图的分块还原为网格的分块。本发明的网格划分方法稳定性良好，不平衡率更优，可处理一些METIS不能处理的大规模网格图。

技术领域

本发明属于超大规模网格预处理和超大规模计算的负载平衡设计领域，具体涉及一种基于图论与组合优化的大规模有向图平衡划分方法。

背景技术

网格是数值计算的重要组成部分，网格的好坏直接影响着计算的速度与收敛性。随着计算精度要求的提高，网格的规模也随之增大，必须利用并行计算。网格预处理就是对给定的网格进行划分，并尽可能达到负载平衡，使并行计算达到更好的效果。然而对于大规模网格，现有的网格划分方法难以达到很好的负载平衡。

图划分是网格预处理的一个重要方法。图划分是一个典型的组合优化和图论问题给定一个图G和一个参数k，这一问题旨在将G的顶点集划分为k个分块，以及优化给定的目标函数。如果限制所有分块顶点的数量（或总权值），那么这个问题称为平衡图划分问题(BGP)。BGP是图划分问题的一个标准特例，在网格划分领域有大量的应用。

Andreev和H. Rac×ke证明了BGP对于2分区是NP难题，并且没有常数逼近算法。尤其BPG对于树和网格，不允许采用常数逼近算法，除非NP = P。此外，研究者们还广泛关注其他具有应用背景的图划分问题，例如超图划分问题，平衡连通图划分问题，路径划分问题等。最近，Buluc等人综述了图划分问题的算法设计和应用。

虽然没有针对求解BGP的常数逼近算法，但由于BGP应用广泛，已经开发出许多启发式算法用以求解BGP。首先，通过使用局部搜索策略，Kernighan和Lin 提出了一种针对2-BGP的有效启发式算法，该算法的时间复杂度为O(n² log n)。而后，Fiduccia和Mattheyses提出了一种线性启发式算法。谱方法也是求解BGP的一种重要方法。该方法通过利用给定图的邻接矩阵或拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量，将给定图分为两部分。目前有很多基于谱方法的图划分算法，可以用于迭代求解2-BGP或一般的k-BGP。

另一方面，随着问题规模的增加和计算能力的提高，需要划分的图的大小越来越大，图的顶点可以达到一亿甚至更多。因此，使用以前的算法来解决大规模图划分问题是不现实的。在此基础上，研究人员提出了多级方法和流算法来解决这一问题。多级方法主要是先将原图通过多次收缩转化为小规模的新图，然后将新图划分为k个分块，最后反向映射，并修改收缩图的分区为原图的一个分区。

目前流行的图划分软件和软件包METIS和KaHIP就是基于这一方法设计的。流算法主要是通过一个特定的势函数，将图的每个顶点依次分配到合适的分块。流算法的优点是速度快，省内存，非常适合解决大规模的图划分问题。图划分软件FENNEL就是基于流算法设计的。

尽管在图划分方面已经取得了大量的理论成果，开发出了许多算法，但这一领域仍然还有一些问题未得到解决。第一个问题是关于有向图的划分问题。以往的研究大多是关于无向图的划分，但对于实际应用中的一些问题，例如多学科耦合问题，解决这一问题需要有相应的有向图模型。此外，由于无向图是一种特殊的有向图，对有向图的研究会将图划分这个科研课题补充完整。因此，对有向图划分问题的研究具有非常重大的理论与现实意义。第二个问题是关于目标函数的。以往研究人员通常分别考虑点权和边权的目标函数，即在一些点权限制下，对一些边权目标函数进行优化。很少有对两个权函数相结合的目标函数进行研究。基于这两点，我们研究了将两个权函数相结合的有向图问题。

发明内容