[发明专利]一种解析中高频振动结构能量密度场的NURBS等几何分析方法

权利要求书

1.一种解析中高频振动结构能量密度场的NURBS等几何分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立设计域的等几何分析模型：

设计域利用NURBS曲线、NURBS曲面以及NURBS体进行描述，二维结构采用NURBS曲面描述设计域形状，定义局部空间坐标系为参数空间坐标系为ξ＝(ξ,η)，物理空间坐标系为x＝(x,y)；在参数空间中分别定义ξ和η两方向上的节点向量Ξ¹＝{ξ₁,...,ξ_n+p+1}与Ξ²＝{η₁,...,η_m+q+1}，相应方向上的NURBS基函数阶数分别为p和q，由此将设计域离散为若干NURBS单元组成的物理网格；定义P_i,j为控制点集合，参数空间中ξ和η两方向上控制点数分别为n和m，控制点总数为n_np，n_np＝m×n，由此形成了控制点组成的控制网格；

用在ξ方向p次、η方向q次的NURBS曲面描述设计域，其表达式为：

二次NURBS基函数的表达式为：

其中，分别表示p阶B样条基函数和q阶B样条基函数的集合，w_i,j表示权因子；

2)构建稳态下能量密度控制方程：

定义Γ表示设计域Ω的边界，从设计域中弹性波的能量流平衡原理出发得到能量密度控制微分方程：

其中，η表示阻尼系数，ω为激励频率，ε表示经过时间与空间平均的能量密度，π_in表示输入功率，c_g表示弹性波的群速度，表达式如下：

上式中，Υ表示弹性模量，h表示设计域厚度，λ表示泊松比，ρ表示材料密度；

3)构建单元能量密度控制方程矩阵形式：

以NURBS基函数作为形函数对单元能量密度ε近似表示：

其中，表示单元控制点能量密度，n_en为每个单元上的NURBS基函数个数，由此得到式(3)的弱变分形式：

定义一个时间与空间平均的能量集中度I和能量流q分别为：

其中，表示垂直于边界Γ的单位外法向量；

结合式(7)-式(8)，对式(6)采用一种标准的Gauss积分方法，得到单元能量密度控制方程矩阵形式：

[K^e]{E^e}＝{F^e}-{Q^e} (9)

其中，[K^e]表示单元能量矩阵，{E^e}表示单元节点能量密度向量，{F^e}表示单元输入功率向量，{Q^e}表示单元边界上的能量流向量；

4)计算基于NURBS基函数的能量密度控制方程：

4.1)NURBS基函数：

定义在参数空间上的NURBS基函数表达式为：

其中，表示p阶B样条基函数的集合，w_i表示权因子，W(ξ)表示权函数；

NURBS基函数的一阶导通过求导法则计算得到：

4.2)通过两次映射，将物理坐标系下的NURBS单元映射到局部坐标系下的等参单元：

局部空间与参数空间之间的映射关系：

其中，(ξ_i+1,ξ_i)和(η_j+1,η_j)分别表示参数空间中NURBS单元在ξ和η方向的坐标范围；

参数空间与物理空间之间的映射关系：

dxdy＝|J_ξ|dξdη (17)

其中，计算方法同公式(12)；

在等几何分析的框架下，几何矩阵B表达式：

其中，R_a,x表示NURBS基函数的空间导数，其计算公式如下：

上式中，计算方法同公式(12)；

4.3)计算和组装基于NURBS基函数的单元矩阵：

在局部空间中选取高斯积分点n_gp表示高斯积分点个数，表示高斯积分点对应的权因子，用表示其集合，通过高斯积分点积分得到NURBS单元上的单元能量矩阵表达式：

单元输入功率向量表达式为：

对计算得到的单元能量矩阵与单元输入功率向量采用与经典有限元相同的直接组装方法组装成全局形式[K]、{F}；

结构变化处产生不连续边界，能量密度在不连续边界上不连续；在不连续边界处新增控制点，假设两相邻单元e和单元e+1的相交边界不连续，和和分别表示边界上的两单元同位控制点处能量流，在单元边界上的能量流向量用单元边界矩阵[J^ee+1]和单元控制点能量密度向量{E^e}表示：

按照式(24)-式(25)计算整个设计域的能量流，得到能量流向量的全局形式表达式：

{Q}＝[J]{E} (26)

其中，[J]为单元边界矩阵的全局形式，τ_ee+1和r_ee分别表示能量传递系数和反射系数；

按照上述步骤计算并组装，得到基于NURBS基函数的能量密度控制方程矩阵形式：

([K]+[J]){E}＝{F} (27)

5)适应性处理：

将在等几何分析框架下改造得到的能量密度控制方程代入结构的动力学分析计算中，通过求解计算得到高频激励下结构中任意位置处的能量密度响应。