[发明专利]一种带有碰撞角约束和加速度限制的最优制导律

权利要求书

1.一种带有碰撞角约束和加速度限制的最优制导律，其特征在于，包括以下几个步骤：

步骤一：剩余飞行时间最优制导律建模；

在平面弹目交战几何中，忽略重力加速度，导弹和目标之间的相对运行表示为

式中，r为导弹与目标之间的距离，λ为弹目视线角；V、a和γ分别代表速度、侧向加速度和航向角，下标M和T分别代表导弹和目标；和分别为r、λ、γ_M和γ_T对时间的导数；导弹的动态特性用如下任意阶线性状态方程表示

a_M＝C_Mx_M+D_Mu (3)

其中，x_M是拦截弹控制系统的状态变量，为其对时间的导数，u和a_M分别是拦截弹的指令加速度和实际加速度；和是关于拦截弹状态量的系数矩阵，和D_M∈R是关于指令加速度的系数矩阵；

制导律推导将基于线性化模型进行；在末制导阶段，导弹和目标偏离拦截三角形的偏差很小，那么将非线性模型线化；在线性模型中，以目标和拦截弹在垂直于参考视线方向上的距离ξ为状态量，其对时间的二阶导数为

式中，k_T为目标加速度在垂直于参考视线方向上的分量系数，其表达式为k_T＝cos(γ_T0+λ₀)，其中λ₀为参考视线角，γ_T0为参考目标航向角；线化问题的状态量定义为

其中，为ξ对时间的一阶导数；矩阵形式的动力学方程表示为

其中，A,B和C为系数矩阵，其表达式分别为

式中，[0]定义为合适维度的零矩阵；

最优制导律的性能泛函定义为

其中，t₀和t_f分别为初始时刻和终端时刻；ξ(t_f)、γ_T(t_f)和γ_M(t_f)分别为ξ、γ_T和γ_M在终端时刻的值；为指令碰撞角；α和β是脱靶量和碰撞角偏差的权重；N是权重系数；t_go＝t_f-t是剩余飞行时间；t为飞行时间；

步骤二：最优制导律的求解；

定义一个新的状态量Z(t)满足

其中，τ代表积分的时间变量，Φ(t_f,t)是对应的状态转移矩阵，是状态量x(t)的末端约束值，D是一个常值矩阵，其具体取值为

那么Z(t)的两个分量Z₁和Z₂的动力学方程表示为

其中，D_ξ和D_γ分别是矩阵D的第一行和第二行元素；状态量Z₁和Z₂的终端值分别为

那么，式(8)所示的性能泛函用新的状态量Z(t)表示为

根据最优控制理论，得最优制导指令为

其中，N_ZEM和N_ZEAE是制导系数；如果导弹有理想的动态特性即零延迟且α,β→∞时，系数为

并且状态量Z₁和Z₂表示为

此时得到制导指令关于飞行时间的解析表达式为

其中，是无量纲的剩余飞行时间，和是无量纲的系数，表达式为

式中，κ₀为表征制导初始条件的无量纲参数，其表达式为κ₀＝Z₁₀/(V_MZ₂₀t_f)，Z₁₀和Z₂₀分别是Z₁和Z₂的初始值；

步骤三：推导加速度指令最大值的解析表达式并求出使其最小的权重系数；

为了便于分析，定义无量纲制导指令为

根据极值定理得到当N∈N_ext时，存在且只存在一个极值点t₁；根据初始条件κ₀的不同，N_ext分别为

其中，N₁和N₂为权重系数N的两个特征取值，其值与κ₀有关，表达式为

当N∈N_ext时，得到在t₁处的值，即极值其与关于权重系数N有关，表达式为

其中，

同样易得在t＝0处的值，即初始值其同样与关于权重系数N有关，表达式为

定义的最大值为当N∈N_ext，由和的绝对值决定，表示为

对于其它的权重系数取值，由于不存在极值点，那么得到

根据初始条件κ₀的不同，的解析表达式分别为：

如果κ₀≤-1，

如果-1＜κ₀＜-1/2，

如果κ₀≥-1/2，

式中，是函数的根；根据此表达式求得使最小的权重系数N_min：

如果κ₀≤-1，

N_min＝0 (30)

如果-1＜κ₀＜-3/4，

如果-3/4≤κ₀＜-1/2，

如果κ₀≥-1/2，

式中，是的极值点；

步骤四：求解总控制能量的解析表达式；

定义E代表整个制导过程中导弹的总控制能量，其表达式为

将式(19)代入(34)并进行解析积分得到

那么，E对N的导数为

其中，

式中，系数a₂，a₁和a₀分别为与N有关的表达式；通过分析Θ_a＝0的解得到；如果κ₀＞κ_max＝-0.6418，对于任意的非负的N，E单调递增；如果κ₀＜κ_max，对于N＜N_E1或者N＞N_E2，E单调递增，对于N_E1＜N＜N_E2，E单调递减，其中N_E1和N_E2为Θ_a＝0的两个非负数解；

同时，当N＝0时，E的值为

那么由式(35)和式(38)得到E和E₀之差

其中，

式中系数b₂，b₁和b₀分别为与N有关的表达式；对于任意非负的N，Θ_b＞0恒成立，那么由式(39)得到E＞E₀，即E₀是E的最小值；

步骤五：选择最优权重系数；

设加速度限制为u_lim，当N＝0时，总控制能量E为最小值，同时制导系数N_ZEM和N_ZEAE的值也是最小的，增加制导系统对误差的鲁棒性，因此如果u_Max(0)≤u_lim，应该选择权重系数为N＝0；

如果u_Max(N_min)＜u_lim＜u_Max(0)，由最大加速度关于N的解析表达式求得满足约束u_Max(N)＜u_lim的N的集合为(N_lim1,N_lim2)，那么应选择在此集合内使E最小的值；

由步骤四可知，如果κ₀≥κ_max，E随着N的增加单调递增，那么应该选择权重系数为N＝N_lim1；如果κ₀＜κ_max，当N＜N_E1或N＞N_E2时，E单调递增；当N_E1＜N＜N_E2时，E单调递减；因此在区间(N_lim1,N_lim2)上，E的最小值可能位于N_lim1，N_lim2或N_E2，那么应该选择这三个N中使得E最小的一个值，即N＝N_j|min{E(N_j)},j∈{lim1,lim2,E2}；

如果加速度限制更严格，使得应该首先选择权重系数为N＝N_min，并且当κ^*＝-1/2时，将权重系数重置为N＝0，这能减小制导指令的最大值。