[发明专利]基于LASSO算法求解三坐标测量机21项几何误差的方法

权利要求书

1.基于LASSO算法对三坐标测量机几何误差进行求解的方法，该方法包括下述步骤：

步骤一：构建三坐标测量机的激光追踪仪多站位测量模型；

CMM空间坐标系下，设CMM空间内待测点为A_i(x_i,y_i,z_i)，x_i、y_i、z_i分别为CMM空间内的x、y、z三向的坐标值，其中i＝1,2,3,…,n，n表示待测点的个数且取正整数；激光追踪仪的站位坐标为P_j(X_j,Y_j,Z_j)，其中j＝1,2,3,…,m，m表示站位坐标的个数且取正整数；P_j到A₁点的距离为d_j；测量过程中激光追踪仪的测量数据为l_ij；按三维空间两点距离公式建立下列关系式：

方程个数为m×n，未知数个数为4m+3n；为使方程组可解应满足：

m×n≥4m+3n (2)

则有m和n满足m≥4，n≥16；

步骤二：激光追踪多站位测量数据的获取；

将激光追踪仪固定在CMM平台上，控制CMM移动目标靶镜按照规划路径从第1个待测点A₁移动至第n个待测点A_n，按规划路径移动靶镜完成所有待测点测量数据l_i1的测量；随后转站依次完成第2个站位,第3个站位，…,第m个站位的测量，获得激光追踪仪的测量数据l_ij；其中多站位测量系统的激光追踪仪站位不能在同一平面内；

步骤三：利用Levenberg-Marquardt算法解算站位坐标P_i(X_j,Y_j,Z_j)和d_j；

根据式(1)，令

记f(x)＝(f₁(x),f₂(x),...,f_n(x)),则有

其中，x为未知量矩阵，x＝[X_j Y_j Z_j d_j]，Rⁿ为n维实数集，n为测量点个数；

设迭代的搜索方向为d_i，有

式中，μ_i＞0，μ_i为调整搜索方向引入的正参数，f_i为误差方程的集合，J_i为误差方程的梯度矩阵，d为搜索方向的集合；

其中

由Armijio搜索求步长.

令m_i′是满足式(6)-(9)的最小非负整数m′，即

f(X_j+β^m′d_i)≤f(X_j)+σβ^m′g_i^Td_i (6)

f(Y_j+β^m′d_i)≤f(Y_j)+σβ^m′g_i^Td_i (7)

f(Z_j+β^m′d_i)≤f(Z_j)+σβ^m′g_i^Td_i (8)

f(d_j+β^m′d_i)≤f(d_j)+σβ^m′g_i^Td_i (9)

式中：σ∈(0,1)，β∈(0,1)；通过迭代求解出站位坐标P_j(X_j,Y_j,Z_j)以及激光追踪仪站位到初始待测点的距离d_j；

步骤四：利用Levenberg-Marquardt算法求得测量点实际坐标(x_i',y_i',z_i')

根据激光追踪仪多站位测量系统两点间的距离公式(1)，

记F(x_i,y_i,z_i)＝(F₁(x_i,y_i,z_i),F₂(x_i,y_i,z_i),…,F_m(x_i,y_i,z_i))^T，则非线性最小二乘问题可表示为

其中，Rⁿ为n维实数集，m为站位个数；

设迭代搜索方向为d_k，则有

式中μ_k为调整搜索方向引入的正参数，F_k(x_i,y_i,z_i)为误差方程的集合，J_k(x_i,y_i,z_i)为第i个测量点误差方程的梯度矩阵，d为搜索方向的集合；

其中

利用Armojo准则求搜索步长，对于x_i,y_i,z_i有

式中：σ∈(0,1)，β∈(0,1)，m’为满足式(8)成立的最小非负数，g_k为第k次迭代对应的梯度值；

进而迭代求解出测量点的实际坐标(x_i',y_i',z_i')；

步骤五：求解CMM的体积误差；

将坐标测量机的实际坐标值带入公式(13)求解体积误差；

A_i(x_i,y_i,z_i)为测量点坐标值，A_i'(x_i',y_i',z_i')为实际坐标值，(Δ_xA,Δ_yA,Δ_zA)为A点的测量体积误差；

步骤六：基于准刚体模型建立CMM体积误差与21项几何误差之间的关系；

步骤七：求解3项垂直度误差；

采用协方差矩阵的奇异值分解(Singular Value Decomposition，简称SVD)变换进行平面拟合；将LM算法求得的理论上在同一个平面的待测点的真实坐标值标拟合成一个平面；拟合平面满足真实坐标到拟合平面距离的残差最小；

设平行于YZ平面的拟合平面方程为a_xX+b_xY+c_xZ+e_x＝0，平行于XZ平面的拟合平面方程为a_yX+b_yY+c_yZ+e_y＝0，平行于XY平面的拟合平面方程为a_zX+b_zY+c_zZ+e_z＝0，则3项垂直度误差分别为

步骤八：建立线性方程组；

设所要求解的未知数几何误差的个数为f个，n个测量点，路径规划的第一个测量点坐标为A₁(x₁,y₁,z₁),从第二点至第n点距离第一点(x₁,y₁,z₁)的距离为x_i1＝x_i-x₁,y_i1＝y_i-y₁,z_i1＝z_i-z₁,将公式(17)求得的垂直度误差带入体积误差与21项几何误差的关系模型中整理得到如下方程

其中δ_x(x)是x轴的定位误差所构成的矩阵，矩阵大小与x轴所规划的测量范围及步长大小有关，其余x轴的几何误差均与δ_x(x)有相同含义，E_xx1为单位矩阵，长度与x轴所规划的测量范围及步长大小有关，其余单位矩阵的定义均与E_xx1相同；(z+z_p)₁是ε_y(x)的系数矩阵，因此(z+z_p)₁的大小与ε_y(x)相同，其余系数矩阵均有相同的含义；

步骤九：利用LASSO算法求解方程组得到剩余18项几何误差；

令

则公式(18)变为

b＝Ax (19)

假设数据是经过一些预处理的：样本中心化并且是列单位长度的，b是中心化的，即

得到一组线性回归系数使得则LASSO的优化目标为

t——调和参数；

利用LASSO算法，进而求得剩余18项几何误差。