[发明专利]曲线钢-混凝土组合箱型梁一维有限元模型的构建方法

摘要

本发明涉及一种曲线钢‑混凝土组合箱型梁一维有限元模型的构建方法，本发明提出了曲线钢‑混凝土组合箱型梁考虑翘曲、畸变及滑移的理论模型。模型中有限元划分的每单元包含22个自由度，分别包括曲梁的径向位移、竖向位移、切向位移、扭转角、畸变角及钢梁与混凝土板交界面的相对滑移等。通过虚功原理构造了曲线钢‑混凝土组合箱型梁的平衡方程，并给出了曲线钢‑混凝土组合箱型梁的刚度矩阵及等效荷载矩阵。

主权项

1.一种曲线钢‑混凝土组合箱型梁一维有限元模型的构建方法，其特征在于：包括以下步骤：步骤1、作出基本假设：(1)混凝土板为矩形截面且与未变形结构中的钢梁有相同的曲率；(2)混凝土板和钢梁的竖向位移始终相同；(3)曲率半径沿梁长保持不变；(4)钢梁和混凝土板之间的剪力连接在切向和径向两个方向上都是柔性的；(5)箱型梁的截面尺寸远小于跨径，忽略曲率半径在梁宽方向上的变化；(6)仅考虑畸变引起的纵向位移，不计畸变引起的其他效应及横向变形；(7)忽略弯曲及翘曲产生的剪切变形；步骤2、选取坐标系选取的箱型梁坐标系为过形心的三维流动坐标系oxyz，ox轴平行于混凝土板指向箱型梁曲率中心，oy轴竖直向下，oz轴与梁未变形前的轴线重合；同时，取s轴为箱型梁各板截面切向方向，n轴为各板截面法向方向；步骤3、组合箱型梁的位移模式及应变分量设组合箱型梁形心沿ox、oy及oz轴的位移分别为u(z)、v(z)、w(z)，θ(z)及θ_d(z)分别为组合箱型梁截面绕扭转中心及畸变中心的扭转角和畸变角，依据乌曼斯基第二扭转理论，引入一个独立的扭转翘曲位移函数β(z)；基于所述三维流动坐标系oxyz，组合箱型梁上任一点的纵向位移W_z(z,s)、切向位移W_s(z,s)及法向位移W_n(z,s)分别为：W_z(z,s)＝w(z)+Ω_s(z)‑(u(z)′+w(z)k₀+Ω_s(z)k₀)x‑v(z)′y‑ω(x,y)(β(z)+v(z)′k₀)‑ω_d(x,y)θ_d(z)′  (1)W_s(z,s)＝‑(u(z)+Ω_x(z))sinα‑v(z)cosα+θ(z)ρ_s+θ_d(z)D_s  (2)W_n(z,s)＝(u(z)+Ω_x(z))cosα‑v(z)sinα‑θ(z)ρ_n‑θ_d(z)D_n  (3)式中：x、y、z、s为箱型梁上任意点的相应位置坐标，()′＝d()/dz，ω(x,y)及ω_d(x,y)分别为扭转翘曲及畸变翘曲主扇形坐标，k₀＝1/R₀为箱梁初始曲率，R₀为箱梁的初始曲率半径，α为从x轴转到n轴的角度，以逆时针方向为正，Ω_x(z)、Ω_s(z)分别表示钢梁与混凝土板在径向、切向的相对滑移；其中，ρ_s＝(y‑y_s)sinα‑(x‑x_s)cosα，为组合箱型梁单位扭转角时横截面上切向位移分布；ρ_n＝(y‑y_s)cosα+(x‑x_s)sinα，为组合箱型梁单位扭转角时横截面上法向位移分布；D_s＝[(y‑y_d)sinα‑(x‑x_d)cosα]Ψ_d，为组合箱型梁单位畸变角切向方向位移分布；D_n＝[(y‑y_d)cosα+(x‑x_d)sinα]Ψ_d，为组合箱型梁单位畸变角法向方向位移分布；式中，x_s、y_s及x_d、y_d分别为扭转中心和畸变中心坐标，在顶板、底板上：Ψ_d＝‑1/(1+υ)，在腹板上：Ψ_d＝υ/(1+υ)，υ＝(2h₁bc1+2h₃bs)/(h₂c+h₄c)，为一仅与截面形状有关的常数，h₁、h₃、h₂和h₄为畸变中心至顶板、底板及两腹板的垂直距离，bc1、bs分别为箱型梁闭口部分顶板、底板宽度的一半，c为箱型梁腹板长度；钢梁与混凝土板交界面处的总滑移可写为：u_sp＝2Ω_x(z)  (4)w_sp＝2Ω_s(z)  (5)式中：u_sp、w_sp分别表示径向和切向的滑移量；基于上述位移模式，在上述坐标系下任意点p的正应变分量为依据假设(7)，任意点p的切应变分量为式中：r*为扭转中心到p点切线的垂直距离,式中：Ω＝∮tds，为箱型梁各板所围面积的两倍，t为箱型梁各板板厚；步骤4、组合箱型梁的平衡方程由虚功原理可得曲线钢‑混凝土组合箱型梁的平衡方程如下式(8)中前三个积分分别为由钢梁、混凝土板及预应力钢筋的变形所引起的内虚功，A表示横截面面积，其中A_s、A_c、A_r分别表示钢梁、混凝土板和预应力钢筋的横截面面积，L为组合箱型梁的总长；由式(6)及式(7)可知钢梁、混凝土板及预应力钢筋的应变变量可改写为式(9)所示：δε_k＝SB_kδd  (9)其中，下标k可用s、c和r替换，分别表示钢梁、混凝土板及预应力钢筋，矩阵B_k详见附录A；矩阵S及位移向量d如下所示：d＝{[u] [v] [w] [θ] [β] [θ_d] [Ω]}^T[u]＝{u(z) u(z)′ u(z)″}、[v]＝{v(z) v(z)′ v(z)″}、[w]＝{w(z) w(z)′}、[θ]＝{θ(z) θ(z)′}、[β]＝{β(z) β(z)′}、[θ_d]＝{θ_d(z) θ_d(z)′ θ_d(z)″}、[Ω]＝{2Ω_x(z) 2Ω_x(z)′ 2Ω_s(z) 2Ω_s(z)′}假定曲线组合箱型梁在正常使用阶段钢梁、混凝土板及预应力钢筋均处于弹性阶段，则钢梁及混凝土板的应力‑应变关系可用式(10)表示：式中，下标k可用s和c替换分别表示钢梁及混凝土板，σ_k、τ_k分别为钢梁或混凝土板的正应力及切应力；ε_k、γ_k为钢梁或混凝土板的正应变及切应变，E_k、G_k分别为相应的杨氏模量及剪切模量；预应力钢筋的应力‑应变关系可用式(11)表示：式中，E_r、G_r分别为预应力钢筋的杨氏模量及剪切模量，ε_r0为预应力钢筋预拉伸应变；式(8)中第四项为钢梁与混凝土板之间相对滑移所产生的内虚功，b为钢梁上翼缘宽度，由式(4)‑式(5)，钢梁与混凝土板间的界面滑移变量可写为式(12)所示：δd_slip＝{δu_sp δw_sp}^T＝S_ΩB_Ωδd  (12)式中，矩阵B_Ω详见附录A，S_Ω如下所示：假定螺栓剪力件在使用中处于线弹性阶段，则组合箱型梁界面处的剪力流可由滑移位移通过式(13)得出式中，q_us、q_ws分别为组合箱型梁截面交界处径向及切向剪应力流；ρ为剪力连接件刚度矩阵，ρ_u、ρ_w分别为径向及切向的滑移刚度，单位：力/长度³；式(8)中第五项为框架抵抗畸变所产生的内虚功，K_R为框架抗畸变刚度，其值可通过式(14)算出；式中，E为弹性模量，Θ为腹板与顶板的夹角，c为腹板长度，μ为泊松比，tc、tw、ts分别为混凝土板、钢腹板、钢底板的厚度；式(8)中后两项为外荷载所产生的外虚功，Q＝{Q_n Q_s Q_z}^T和q＝{q_n q_s q_z}^T分别为集中荷载和均布荷载矩阵，Q_n、Q_s、Q_z分别为n轴、s轴及oz轴方向的集中力，q_n q_s q_z分别为n轴、s轴及oz轴方向的均布力，δW为外荷载作用下的位移，由式(1)‑(3)可得其可写为式(15)所示：δW＝{δW_n δW_s δW_z}^T＝H₁δD+H₂δD′  (15)式中，[H₁]_3×8＝[[A₁]^T [A₂]^T [A₃]^T]^T[H₂]_3×8＝[[0]_1×8^T [0]_1×8^T [A₄]^T]^TA₁＝{cosα ‑sinα 0 ‑ρ_n 0 ‑D_n cosα/2 0}A₂＝{‑sinα ‑cosα 0 ρ_s 0 D_s ‑sinα/2 0}A₃＝{0 0 1‑xk₀ 0 ‑ω(x,y) 0 0 (1‑xk₀)/2}A₄＝{‑x ‑(y+ω(x,y)k₀) 0 0 0 ‑ω_d(x,y) 0 0}D＝{u(z) v(z) w(z) θ(z) β(z) θ_d(z) 2Ω_x(z) 2Ω_s(z)}^T步骤5、曲线钢‑混凝土组合箱型梁的有限单元方程将式(9)‑式(15)带入式(8)中，整理后可得曲线钢‑混凝土组合箱型梁的有限单元方程如式(16)所示：Kd^e＝F  (16)式中，K为组合箱型梁单元刚度矩阵，d^e为相应的节点位移，F为等效荷载矩阵；其中，T_R为框架抗畸变刚度矩阵，T_R(13,13)＝K_R；i＝1或2；N及N_F为相应的形函数矩阵，详见附录B；附录AB_k矩阵中的非零元素如下：B_k(1,1)＝‑k₀；B_k(1,8)＝1；B_k(1,9)＝‑y_s*k₀；B_k(1,13)＝‑y_d*k₀*Ψ_d；B_k(1,16)＝a_k*k₀；B_k(1,19)＝a_k；B_k(2,3)＝‑1；B_k(2,8)＝‑k₀；B_k(2,19)＝a_k*k₀；B_k(3,6)＝‑1；B_k(3,9)＝k₀；B_k(3,13)＝k₀*Ψ_d；B_k(4,6)＝‑k₀；B_k(4,12)＝‑1；B_k(5,15)＝‑1；B_k(6,5)＝k₀；B_k(6,10)＝1；B_k(7,5)＝‑k₀；B_k(7,11)＝‑1；其中，下标k可用s、c和r替换且a_s＝0.5、a_c＝‑0.5、a_r＝‑0.5；B_Ω矩阵中的非零元素如下：B_Ω(1,16)＝1；B_Ω(2,18)＝1；附录B形函数矩阵N中非零元素如下：N(1,1)＝n₁；N(1,2)＝n₂；N(1,12)＝n₃；N(1,13)＝n₄；N(2,1)＝n′₁；N(2,2)＝n′₂；N(2,12)＝n′₃；N(2,13)＝n′₄；N(3,1)＝n″₁；N(3,2)＝n″₂；N(3,12)＝n″₃；N(3,13)＝n″₄；N(4,3)＝n₁；N(4,4)＝n₂；N(4,14)＝n₃；N(4,15)＝n₄；N(5,3)＝n′₁；N(5,4)＝n′₂；N(5,14)＝n′₃；N(5,15)＝n′₄；N(6,3)＝n″₁；N(6,4)＝n″₂；N(6,14)＝n″₃；N(6,15)＝n″₄；N(7,5)＝m₁；N(7,16)＝m₂；N(8,5)＝m′₁；N(8,16)＝m′₂；N(9,6)＝m₁；N(9,17)＝m₂；N(10,6)＝m′₁；N(10,17)＝m′₂；N(11,7)＝m₁；N(11,18)＝m₂；N(12,7)＝m′₁；N(12,18)＝m′₂；N(13,8)＝n₁；N(13,9)＝n₂；N(13,19)＝n₃；N(13,20)＝n₄；N(14,8)＝n′₁；N(14,9)＝n′₂；N(14,19)＝n′₃；N(14,20)＝n′₄；N(15,8)＝n″₁；N(15,9)＝n″₂；N(15,19)＝n″₃；N(15,20)＝n″₄；N(16,10)＝m₁；N(16,21)＝m₂；N(17,10)＝m′₁；N(17,21)＝m′₂；N(18,11)＝m₁；N(18,22)＝m₂；N(19,11)＝m′₁；N(19,22)＝m′₂；形函数矩阵N_F中的非零元素如下：N_F(1,1)＝n₁；N_F(1,2)＝n₂；N_F(1,12)＝n₃；N_F(1,13)＝n₄；N_F(2,3)＝n₁；N_F(2,4)＝n₂；N_F(2,14)＝n₃；N_F(2,15)＝n₄；N_F3,5)＝m₁；N_F(3,16)＝m₂；N_F(4,6)＝m₁；N_F(4,17)＝m₂；N_F(5,7)＝m₁；N_F(5,18)＝m₂；N_F(6,8)＝n₁；N_F(6,9)＝n₂；N_F(6,19)＝n₃；N_F(6,20)＝n₄；N_F(7,10)＝m₁；N_F(7,21)＝m₂；N_F(8,11)＝m₁；N_F(8,22)＝m₂；其中，n₁＝(1+2*z/d)*((z‑d)/d)^2；n₂＝z*((z‑d)/d)^2；n₃＝(1‑2*(z‑d)/d)*(z/d)^2；n₄＝(z‑d)*(z/d)^2；m₁＝1‑z/d；m₂＝z/d，z为位置未知数，d为单元长度。