[发明专利]一种高阶张量的纤维取向分布估计稀疏去卷积方法

摘要

一种高阶张量的纤维取向分布估计稀疏去卷积方法，包括如下步骤：1)使用高阶张量‑纤维取向分布HOT‑ODF卷积表示扩散信号衰减轮廓信号的纤维响应函数；2)l₂惩罚项；3)l₀和l₁惩罚项；4)纤维取向分布域的稀疏，实现纤维取向分布估计。本发明提供一种分布域充分表征实际稀疏、准确性较高的高阶张量的纤维取向分布估计稀疏去卷积方法。

主权项

一种高阶张量的纤维取向分布估计稀疏去卷积方法，其特征在于：所述方法包括如下步骤：1)使用高阶张量‑纤维取向分布HOT‑ODF卷积表示扩散信号衰减轮廓信号的纤维响应函数：$S\left(g\right)/S_o=R(\mathrm{\υ},g)\⊗D\left(\mathrm{\υ}\right)={\∫}_{S_2}R(\mathrm{\υ},g)D\left(\mathrm{\υ}\right)d\mathrm{\υ}---\left(1\right)$其中，D(υ)为HOT‑ODF基函数，S(g)为扩散信号强度，S_o为未加扩散梯度的脉冲，其中g是磁场梯度方向，υ是在球体S₂上的三维单位向量；R(υ,g)代表扩散信号衰减，是一个单一相干的定向纤维组测定的轴向对称响应函数：$R(\mathrm{\υ},g)=e^{-\mathrm{\μ}b{\left(g^T\mathrm{\υ}\right)}^2}---\left(2\right)$其中，μ表示对扩散敏感性系数b和各向异性相互作用的影响程度信号衰减；R(υ,g)能够从一个z轴对齐旋转对称的纤维组区域的信号衰减来估计；HOT‑ODF函数D(υ)通过笛卡尔张量近似，对于l阶张量：$D\left(\mathrm{\υ}\right)=\underset{r=0}{\overset{l}{\Σ}}\underset{s=0}{\overset{l-r}{\Σ}}{d}_{rs}{\mathrm{\υ}}_1^r{\mathrm{\υ}}_2^s{\mathrm{\υ}}_3^{l-r-s}---\left(3\right)$υ＝(υ₁,υ₂,υ₃)^T         (4)υ_i(i＝1,2,3)代表三维单位向量υ的第i列向量；r,s都代表阶次，d_rs代表扩散系数，D(υ)简化成：$D\left(\mathrm{\υ}\right)=\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{x}_j{f}_j\left(\mathrm{\υ}\right)---\left(5\right)$x_j是与d_rs相关的系数，是第j个张量单项式，j是系数：$j=r(l-\frac{r-3}{2})+s+1---\left(6\right)$其中是公式(5)中的项数m是j的上限，是有界的：m≤(l+1)(l+2)/2        (7)给定一个磁场梯度g_i,i＝1,2,...和扩散加权的b值b相关联的DW‑MRI信号衰减S_i/S₀的一个数据集，第l阶张量的系数可通过最小化下列能量函数E相对于所述未知多项式系数估计：$\begin{array}{c}E=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(S_i/S_0-{\∫}_{S_2}R(\mathrm{\υ},g_i)D(\mathrm{\υ},x)\mathrm{d\υ})}^2\\ =\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(S_i/S_0-\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j{\∫}_{S_2}{e}^{-\mathrm{\μb}{\left(g_i^T\mathrm{\υ}\right)}^2}{f}_j\left(\mathrm{\υ}\right)\mathrm{d\υ})}^2\end{array}---\left(8\right)$估计所述HOT系数在公式(8)构成形式的离散逆问题：y＝Ax+ξ         (9)其中，A是n×m的矩阵且x是包含未知系数x_j的m维向量，y是包含y_i＝S_i/S₀的n维向量，ξ代表噪声和测量误差；2)l₂惩罚项球谐函数的Tikhonov正则化方式，即非负约束球形去卷积，涉及最小化两个项数的加权和：其中，是正则化参数，L是包含在精确解的平滑先验信息约束矩阵；Tikhonov正则化导致了整体上减少了在偏差‑方差权衡上的均方误差；Tikhonov正则化方法的问题是，x估计的解决方案中每个元素通常是非零和非负的，而真实的解决方案涉及非零元素子集；因此公式(10)的解决方法是非稀疏的；3)l₀和l₁惩罚项纤维取向的真实分布被认为是稀疏，假定只有少数x的元素为非零，它们产生的观测信号y的最大稀疏通过最小化l₀表示：$\begin{array}{ccc}\underset{x}{\min }\left|\right|x|{|}_0& s.t.& \left|\right|Ax-y|{|}_2\≤\mathrm{\ξ}\end{array}---\left(11\right)$其中，ξ代表阈值，||x||₀代表x中非零元素的数目，考虑到一个体素内只存在几个纤维群体，然后承担一个体素内小于k个纤维束的群体；公式(11)中的元素能够被整理为寻找一个给定稀疏值k可能的最小误差：$\begin{array}{ccc}\underset{x}{min}\left|\right|Ax-y|{|}_2& s.t.& \left|\right|x|{|}_0\≤k\end{array}---\left(12\right)$而最小化l₀问题则是一个非确定性多项式问题，它放宽为l₁问题；通过||ωx||₁近似||x||₀，就变成了l₁问题：$\begin{array}{ccc}\underset{x}{min}\left|\right|Ax-y|{|}_2& s.t.& \left|\right|\mathrm{\ω}x|{|}_1\≤k\end{array}---\left(13\right)$其中，||ωx||₁代表权重先验信息的凸约束；x的稀疏元素趋向于零和权重ω一起迭代更新；权重迭代ω^(t+1)代表权重ω的第t+1次迭代，代表第i个稀疏元素的第t次迭代，通过参数λ≥0平衡以最大限度地减少错误和稀疏这两项双重目标：$\underset{x}{min}\left\{\right||Ax-y|{|}_2^2+\mathrm{\λ}\left|\right|\mathrm{\ω}x\left|{|}_1\right\}---\left(14\right)$公式(14)的问题中，纤维取向分布的稀疏约束被施加在x中；4)纤维取向分布域的稀疏稀疏表示是通过最大限度地减少l₀问题：$\begin{array}{ccc}\underset{x}{min}\left|\right|D(\mathrm{\υ},x)|{|}_0& s.t.& \left|\right|Ax-y|{|}_2\≤\mathrm{\ξ}\end{array}---\left(15\right)$其中，D(υ,x)＝xF，x＝[x₁,x₂,...,x_m]^T，F＝[f₁(υ),f₂(υ),...,f_m(υ)]是从HOT‑ODF在公式(5)计算出纤维取向分布的值；公式(15)同样放宽为l₁问题：$\underset{x}{min}\left\{\right||Ax-y|{|}_2^2+\mathrm{\λ}\left|\right|\mathrm{\ω}D(\mathrm{\υ},x)\left|{|}_1\right\}---\left(16\right)$D(υ,x)的稀疏元素趋向于零同ω一起迭代更新；权重ω的修正方案定义为：${\mathrm{\ω}}_i^{(t+1)}=\frac{\▿(D_i{\left(v,x\right)}^{\left(t\right)},\mathrm{\β})}{\left|\right|D_i{\left(v,x\right)}^{\left(t\right)}\left|\right|+\mathrm{\δ}}---\left(17\right)$其中，是第i个权重的第t+1次迭代，β是一个给定的向量正元素与D_i大小相同；δ是一个正常数；公式(14)和(15)是拉索型最优化问题，应对该拉索型最优化问题的方法是利用弹性网模型：$\underset{x}{min}\left\{\right||Ax-y|{|}_2^2+\mathrm{\λ}\left(\mathrm{\α}\right|\left|\mathrm{\ω}D\right(\mathrm{\υ},x)|{|}_1+(1-\mathrm{\α})|\left|\mathrm{\ψ}D(\mathrm{\υ},x)\right|{|}_2^2\left)\right\}---\left(18\right)$其中，参数λ用于平衡稀疏约束项和噪声项；假设λ是标准化D的高斯分布，其中是标准化D的最小值；max(D)‑min(D)在单位空间中通常是恒定不变的，所以设置λ＝e^{‑[D‑min(D)]}，参数α∈[0,1]控制稀疏和平滑度的量，参数ψ是用来约束向量元素：${\mathrm{\ψ}}_i=\left\{\begin{array}{cc}0& \left|D_i\right|\>\mathrm{\Γ}\\ 1& \left|D_i\right|\≤\mathrm{\Γ}\end{array}\right.---\left(19\right)$其中，Γ是可控的阈值，低于该阈值相应的纤维取向密度幅值定为零，实现纤维取向分布估计。