[发明专利]一种单对称截面风力机叶片固有特性求解方法

权利要求书

1.一种单对称截面风力机叶片固有特性求解方法，其特征在于：所述方法具体为：

将叶片视作单对称截面欧拉伯努利悬臂梁，推导过程中用到两种坐标系，一个是惯性正交坐标系x,y,z，其原点位于梁根部横截面剪切中心；另一个是横截面坐标系ξ,η,ζ，其原点位于横截面剪切中心；该欧拉伯努利悬臂梁的截面关于y轴对称，考虑其对y轴的弯曲振动和对x轴的扭转振动，自由振动条件下的动力学方程组写为

其中，

式中，D_η表示抗弯刚度，w表示梁z轴方向弯曲位移，是位置和时间的函数，即w(x,t)，θ表示梁x轴方向扭转位移，也是位置和时间的函数，即θ(x,t)，w””表示梁z轴方向弯曲位移对位置x的四阶偏导，m表示线密度，表示梁z轴方向弯曲位移对时间t的二阶偏导，η_c表示偏心距，表示梁x轴方向扭转位移对时间t的二阶偏导，J_η表示关于y轴的转动惯量，表示梁z轴方向弯曲位移对时间t的二阶偏导和对位置x的二阶偏导，D_ξ表示抗扭刚度，θ”表示梁x轴方向扭转位移对位置x的二阶偏导，J_ξ表示关于x轴的转动惯量，A表示横截面积，ρ表示体密度，E表示杨氏模量，G表示剪切模量，ψ表示翘曲位移场函数，ξ，η，ζ表示横截面坐标系中三个方向坐标；

由于关注的是叶片的周期振动，故不考虑方程组的解中的非周期振动部分，据此，设方程组(1)的解为

式中，W(x)表示梁z轴方向弯曲振动的振型函数，Θ(x)表示梁x轴方向扭转振动的振型函数，e是自然数，i是虚数，ω是圆频率，t是时间，为便于叙述，W(x)和Θ(x)分别记为W和Θ；

将式(2)代入式(1)可实现时间变量和空间变量的分离，得到关于空间变量x的常微分方程组为

式(3)可以合并为一个同时适用于W(x)和Θ(x)的六阶常微分方程，如下所示：

(D⁶+aD⁴-bD²-c)Φ(x)＝0                           (4)

其中，D为偏导符号，记为Φ(x)＝W(x)orΘ(x)，a、b、c为中间参数，表达式为，

式(4)的解为

A₁～A₆、B₁～B₆为待定系数，α、β、γ为中间参数，cosh()是双曲余弦函数，sinh()是双曲正弦函数，具体表达为，

其中，参数q、λ表达式为，

由式(5)可知，弯、扭振型函数共有12个待定系数，但由于弯曲和扭转的耦合性，二者之间并不独立，故待定系数之间存在一定的关系，将式(5)代入式(3)中，利用恒等关系可以得到弯、扭振型函数中待定系数A_i、B_i之间的关系如下：

式中，参数k_α、k_β、k_γ表达式为

系统的频率方程由边界条件获得，对于悬臂梁模型，在固定端有三个几何边界条件如下：

w＝0,θ＝0,w'＝0                             (7)

自由端有三个力(力矩)边界条件如下：

联立(5)、(6)、(7)、(8)，可得方程组如下：

其中，L是梁的长度，参数h_α、h_β、h_γ为中间参数，无具体含义，表达式为：

h_α＝D_ηα²+J_ηω²

h_β＝D_ηβ²-J_ηω²

h_γ＝D_ηγ²-J_ηω²

该方程组无零解，由线性代数理论可知其系数矩阵的行列式为0，即：

式(10)即为系统的频率方程，该方程的解为系统的各阶固有频率；

将式(9)中的系数矩阵利用高斯消元法做行变换，得一上三角矩阵，由此得A_i之间的关系，设

C₃＝-γ²sin(γL)-αγsinh(αL)

C₅＝-β²sin(βL)-αβsinh(αL)

C₆＝k_γ-k_α

C₇＝k_β-k_α

以A₆为自由参数，得

将各阶固有频率ω_i的值代入上式，并设自由参数A₆＝1，即可得到各阶弯、扭振型函数，至此线性方程固有特性分析完毕；

关于单对称截面欧拉伯努利悬臂梁弯曲振动、扭转振动模态的正交性证明如下，对于第i阶振型函数，将分离变量后的动力学方程组写为矩阵形式

其中，W_i表示梁第i阶z轴方向弯曲振动振型函数，Θ_i表示梁第i阶x轴方向扭转振动振型函数；

将式(12)左乘(W_jΘ_j)，得

展开得

沿全梁积分得

由边界条件知，方程左边的第一、二、三项为零；所以

同理，对于第j阶振型方程

两式相减，得

当i≠j时，ω_i²≠ω_j²；固有

从而有

当i＝j时，第i阶模态质量为

第i阶模态刚度为

第i阶固有频率为