[发明专利]一种采用非正交基的GMRES变型算法

说明书

本发明公开了一种采用非正交基的GMRES变型算法，其实现步骤为：S1、选取初始解向量，计算初始残量，获取Krylov子空间的第一维基向量；S2、计算系数矩阵与第一维基向量的乘积，任意选取该乘积结果中的部分元素，并对第一维基向量作对应抽取，以二者的内积作为此向量在第一维基向量上的投影系数，由其残差向量确定Krylov子空间的第二维基向量；S3、以此类推，通过矩阵向量乘、抽取以及求解最小二乘问题，得第三、四、五……维Krylov基向量；S4、通过求解上Hessenberg矩阵方程的最小二乘问题更新残量，直至残量小于既定阈值。本发明相较于标准GMRES方法，大幅降低了生成Krylov基向量的计算复杂度，且易与GMRES(m)、QGMRES等方法结合，可用于大规模矩阵方程特别是非对称线性方程组的求解。

技术领域

本发明涉及科学与工程计算如计算电磁学等技术领域，尤其涉及一种采用非正交基的GMRES变型算法。

背景技术

在应用数学和科学工程计算领域，许多问题的数学模型都可以用线性方程组来描述。例如目标电磁特性仿真计算问题经由矩量法(MoM)、有限元(FEM)等数值算法离散化电磁场微积分方程即转化为了对矩阵方程的求解，又如流体力学中的Navier-Stokes方程求解、量子色动力学(QCD)中的格点规范理论、惯性约束聚变(ICF)中的三温能量方程求解、油藏数值模拟、地震反演模拟过程中的Helmholtz偏微分方程求解等。

当系数矩阵为非对称情况时，广义最小残量法(GMRES)特别是带重启的GMRES即GMRES(m)则是当今最常用的一类算法。GMRES的运算量主要由矩阵向量乘积和向量正交化两部分构成，如何进一步降低其计算复杂度一直是一项颇具挑战性的工作。

发明内容

为有效降低了计算复杂度，为此，本发明提出了一种采用非正交基的GMRES变型算法，具体方案如下：

一种采用非正交基的GMRES变型算法，包括以下步骤：

S1、选取初始解向量，计算初始残量，获取Krylov子空间的第一维基向量；

S2、计算系数矩阵与第一维基向量的乘积，任意选取该乘积结果中的部分元素，并对第一维基向量作对应抽取，以二者的内积作为此向量在第一维基向量上的投影系数，由其残差向量确定Krylov子空间的第二维基向量；

S3、计算系数矩阵与第二维基向量的乘积，再次通过抽取以及求解最小二乘问题获取新向量在由第一、第二维基向量张成的子空间上的一个斜投影向量，并由相应的残差向量确定第三维基向量，以此类推，直至获得第n维基向量；

S4、在每次生成新基向量的同时，根据投影系数向量构建并更新上Hessenberg阵，通过求解其对应的矩阵方程的最小二乘问题，更新残量，直至残量为零或小于既定阈值。

具体地说，步骤S1具体为：

S11、建立线性方程组：

Ax＝b (1)

设迭代初值为x₀，则初始残量为r₀＝b-Ax₀；

S12、任意选取r₀中部分元素记作r_0p，Krylov子空间span{r₀,Ar₀,A²r₀,...,A^n-1r₀}的第一维基向量Q₁由公式(2)确定；

Q₁＝r₀/||r_0p||₂ (2)