[发明专利]一种采用非正交基的GMRES变型算法

权利要求书

1.一种采用非正交基的GMRES变型算法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、选取初始解向量，计算初始残量，获取Krylov子空间的第一维基向量；

S2、计算系数矩阵与第一维基向量的乘积，任意选取该乘积结果中的部分元素，并对第一维基向量作对应抽取，以二者的内积作为此向量在第一维基向量上的投影系数，由其残差向量确定Krylov子空间的第二维基向量；

S3、计算系数矩阵与第二维基向量的乘积，再次通过抽取以及求解最小二乘问题获取新向量在由第一、第二维基向量张成的子空间上的一个斜投影向量，并由相应的残差向量确定第三维基向量，以此类推，直至获得第n维基向量；

S4、在每次生成新基向量的同时，根据投影系数向量构建并更新上Hessenberg阵，通过求解其对应的矩阵方程的最小二乘问题，更新残量，直至残量为零或小于既定阈值。

2.根据权利要求1所述的一种采用非正交基的GMRES变型算法，其特征在于，步骤S1具体为：

S11、建立线性方程组：

Ax＝b (1)

设迭代初值为x₀，则初始残量为r₀＝b-Ax₀；

S12、任意选取r₀中部分元素记作r_0p，Krylov子空间span{r₀,Ar₀,A²r₀,...,A^n-1r₀}的第一维基向量Q₁由公式(2)确定；

Q₁＝r₀/||r_0p||₂ (2)

对Q₁做和r_0p一致的抽取时记作Q_1p，Q_1p为一单位化低维向量。

3.根据权利要求1所述的一种采用非正交基的GMRES变型算法，其特征在于，步骤S2具体为：

S21、计算矩阵向量乘积AQ₁，并对相乘所得向量作与r_0p一致的抽取记作(AQ₁)_p，求解超定方程组

Q_1pα₁＝(AQ₁)_p (3)

的最小二乘解；

S22、由投影系数α₁计算如下残差向量

Δ₁＝AQ₁-Q₁α₁ (4)

S23、进而对Δ₁作和r_0p一致的抽取记作Δ_1p，由

Q₂＝Δ₁/||Δ_1p||₂ (5)

确定Krylov子空间span{r₀,Ar₀,A²r₀,...,A^n-1r₀}的第二维基向量Q₂；记对Q₂作与r_0p一致的抽取所得低维向量为Q_2p，Q_2p为单位化低维向量且Q_2p⊥Q_1p。