[发明专利]一种基于改进K-SVD字典学习和压缩感知的轴承故障诊断方法

权利要求书

1.一种基于改进K-SVD字典学习和压缩感知的轴承故障诊断方法，其特征在于：该方法包括稀疏表示、压缩采样、压缩感知三个步骤；

1)稀疏表示部分

稀疏表示理论指出，在某一固定基，自然信号下用少量的原子来表示该信号，表达式如下：

Y^m*m≈D^m*m*X^m*m

其中D^m*m为稀疏字典，X^m*m为稀疏度矩阵，Y^m*m是原始信号，且满足条件X^m*m是稀疏的，同时D^m*m的列向量为归一化向量；

用下式解释稀疏表示问题:

其中，x_i是稀疏度矩阵的第i列，|| ||₀为向量0范数，是向量或矩阵中非零项的个数，T₀为非零项个数允许的最大值；

将原有的公式变形为：

st||Y^m*m-D^m*mX^m*m||²≤ε

迭代公式如下：

输入：字典矩阵D，测量向量为Y，阈值为ε；

初始化：稀疏度为s的向量x⁰，x⁰＝0；

迭代：当阈值ε大于||Y^m*m-D^m*mX^m*m||²或迭代次数大于3000时停止迭代；

Wⁿ⁺¹＝sup(xⁿ)∪max(A^*(y-Axⁿ))

当||Y^m*m-D^m*mX^m*m||²大于ε继续迭代，并通过最小二乘法解决下式：

计算||Y^m*m-D^m*mX^m*m||²的值判断是否小于ε若小于输出

输出：x，为稀疏度是阈值大于||Y^m*m-D^m*mX^m*m||²的向量；

其中，max(A^*(y-Axⁿ))为A^*(y-Axⁿ)的最大值A^*为矩阵A的转置矩阵ε为阈值，也作为重构误差的阈值，W为支撑集的个数和位置；对信号重构误差的选取，选取0.1为误差起点，每次增加0.01，得到的阈值对信号进行稀疏表示，观察稀疏信号包络谱，选取在不丢失特征的情况下最稀疏的阈值；通过信号包络谱最高点是否发生变化来判断，如果偏离±10HZ认为丢失特征；

K-SVD算法需要进行K次迭代，且每次都要通过SVD将信号进行奇异值分解，以矩阵相乘的形式进行表示；将右侧矩阵的第一列作为字典原子，左侧系数矩阵的第一行和中间奇异值矩阵的第一个值的乘积作为稀疏度s；数学公式如下：

Q^m*n＝X^m*n*Z^n*n*C^n*m

其中，Q^m*n为被分解矩阵，X^m*n为系数矩阵，Z^n*n为奇异值矩阵，C^n*m为字典矩阵；K-SVD字典学习算法逐列更新字典原子，即每次只更新一列字典，即在更新某列原子时其他原子不变，故目标函数化为：

其中，α_j为D^m*m的第j列，x^T_j为X^m*m的第j列的转置，其中j≠k；E_k为残差矩阵，α_k为D^m*m的第k列字典原子，x_k为稀疏度∑为求和符号；

其中，损失估计使用Frobenius范数：

其中，||A||_F等于trace为矩阵的迹，为矩阵对角线之和；同时为保证稀疏性，构成残差矩阵时，只选取稀疏度不为零的索引所对应的列；然后，通过分解残差矩阵来实现字典与稀疏度的更新；

2)压缩采样部分

将信号分成若干部分，计算每部分的峰峰值，组成新的信号，再对信号进行压缩；分割过程由下式表示：

y_i(t)＝[x(t)]_(z-1)*M+1,...,[x(t)]_z*M

其中y_i(t)为原始信号，M为块信号长度，N为信号总长度，z为块数目，[x(t)]_(z-1)*M+1为块信号；

峰峰值由下式计算：

PTP_n(t)＝max(y_n(t))-min(y_n(t))

PTP_n(t)为第n块信号的峰峰值；其中，峰峰值为信号序列中最大值与最小值的差；max(y_n(t))为截取的第n块信号的最大值，min(y_n(t))为截取的第n块信号的最小值；

新的信号由下式表示：

Z_i(t)＝[PTP₁(t)，PTP₂(t)，...，PTP_n(t)]_Z*M

Z_i(t)为新组成的信号，此时信号采样率变为原来的采样率除以M；

3)压缩感知部分

压缩感知理论公式为：

y＝Φx＝ΦΨs＝Θs

其中，y为压缩后的信号，x为原信号，Φ测量矩阵，s为稀疏度，Ψ为稀疏基矩阵，Θ为感知矩阵；其中Φ需要满足RIP即约束等距性质；

RIP性质用如下公式表示

其中，δ是一个大于或等于零的数，a是任意矩阵，若满足上式则Φ满足RIP性质；

信号恢复算法：

当Φ满足RIP性质时，通过求解下列方程通过得到稀疏度s，然后将稀疏度k＝2的信号x从测量投影值为M维的y中正确地恢复出来；

采用COSAMP压缩采样匹配追踪算法求解上述最优化问题获得s。