[发明专利]一种基于GPU端的有限元刚度矩阵模拟方法

说明书

本发明提供一种基于GPU端的有限元刚度矩阵模拟方法，包括：建立刚度方程Ax＝b并初始化；分裂处理刚度矩阵A；对应分配GPU显存；将CPU端初始化数据复制到GPU上；调用计时函数开始计时；调用设备端多项式预优共轭梯度算法进行计算；将计算结果从GPU上复制回CPU端；释放CPU与GPU显存。本发明基于NVIDIA CUBLAS库以及CUDA语言，结合对角预优的预处理方法的优点，对三对角刚度矩阵先进行了一种较好的分裂，避免了对矩阵的求逆运算，从而大大减少了共轭梯度算法的运算量，从而在GPU上实现了刚度矩阵的多项式预处理。

技术领域

本发明属于有限元的数值模拟计算与计算机应用领域，涉及预优有限元刚度矩阵的加速求解实现。

背景技术

计算机图形处理单元(简称GPU)运用于通用计算的研究越来越多，特别是在大规模科学和计算领域，因为最初设计用于图形图像处理，所以GPU与生俱来就是一种拥有大量运算单元的并行处理器，并且由GPU提供相同的计算能力，所需要的成本和功耗都要小于基于CPU的系统。

作为一种数值模拟与仿真的基本方法，有限元法以其高度的适应性，成为现代工程设计和结构分析的重要方法之一，并在土木、水利、汽车、机械、航空航天、核工业和大地勘测等众多领域应用广泛。随着科学技术的不断发展，工程问题的规模和复杂程度相应提高，也对有限元计算提出更大规模、更快速度的要求。有限元法的基本思想是“化整为零，积零为整”，与并行计算技术的“分而治之”的基本原则相协调。因此，对于大规模的有限元结构分析，研究基于GPU的加速计算方法具有重要意义。其中，刚度矩阵的求解是加速计算的核心技术。

目前，基于矩阵不完全分解预处理的共轭梯度算法在GPU上的实现加速的研究成果相对较多。例如针对该算法中的三角刚度阵求解的串行性进行优化，采用分层调度的方法提高了其并行性。又如，基于对Krylov子空间方法的研究，在数据存储与迭代计算方面进行创新，实现了Krylov子空间方法的GPU加速实现。目前还有一些研究指出了稀疏刚度方程在GPU上的共轭梯度法求解，并结合空间桁架问题验证了CUDA平台GPU有限元计算的加速性。以及，针对CPU之上的向量内积计算时间问题，提出了一种GPU加速向量乘积的归约策略针对CPU之上的向量内积计算时间问题，提出了一种GPU加速向量乘积的归约策略，并基于OpenMP和MPI编程模型实现了加速计算。

但是，涉及多项式预处理的共轭梯度算法研究相对较少。现有的刚度方程求解采用的方法都是将其离散化为高阶线性方程组，从而将原有问题转化为高阶线性方程组的求解问题。共轭梯度算法作为迭代算法中最为有效的方法，深受研究者的关注。但是在具体实现过程中发现，只有当系数矩阵仅有少数几个互不相同的特征值或者非常良态时，共轭梯度算法才能收敛的非常之快。因此，采用预处理技术的共轭梯度算法在求解刚度方程中，具有很好的适用性。预处理技术一般采用不完全的Cholesky因子预优方法。这种方法虽然是一种非常重要的预优技巧，却也有着明显的缺点：该预优算法需要求解两个三角形方程组，并行效率非常低，无法充分利用GPU加速处理器的并行性能。多项式预优方法由于该算法中只包含矩阵的乘法计算和求逆计算，相对不完全的Cholesky分解预处理方法，具有更好的并行性能。然而求逆运算在具体实现过程中仍然是GPU加速计算的瓶颈。而且，即使是大规模的矩阵、向量的乘法运算，在CPU上实现多项式预优算法也会因为耗时巨大，而无法得到有效应用。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：针对现有对不完全分解法预处理技术的缺陷，以及对多项式预处理方法的研究不足，提供一种基于GPU端的有限元刚度矩阵模拟方法，本发明基于NVIDIA CUBLAS库以及CUDA语言，结合对角预优的预处理方法的优点，对三对角刚度矩阵先进行了一种较好的分裂，避免了对矩阵的求逆运算，从而大大减少了共轭梯度算法的运算量，从而在GPU上实现了刚度矩阵的多项式预处理。

本发明解决上述技术问题所采用的技术方案是：

一种基于GPU端的有限元刚度矩阵模拟方法，包括以下步骤，