[发明专利]一种基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法

权利要求书

1.一种基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法，包括以下步骤：

步骤一：基于能量函数变分原理得到板振动的边界值问题模型，再基于变量分离方法得到两个方向的自由振动方程；具体步骤为

建立矩形板直角坐标系(x,y,z)，分别定义x,y,z三个方向的位移多元函数u(x,y,t)，v(x,y,t)，w(x,y,t)如下:

u(x,y,t)＝zθ_y(x,y,t)；

v(x,y,t)＝-zθ_x(x,y,t)；

w(x,y,t)＝w₀(x,y,t)；

其中w₀(x,y,t)表示板(x,y)位置在z方向t时刻的振动幅值，θ_x表示板(x,y)位置在t时刻绕x轴的旋转角，θ_y表示板(x,y)位置在t时刻绕y轴的旋转角；

定义能量函数：

Π＝U+T，

其中表示w(x,y,t)的对时间的导数表示θ_x(x,y,t)对时间的导数表示θ_y(x,y,t)对时间的导数常数常数

参数定义为：E：板抗弯刚度，a：板长度，b：板宽度，h：板厚度，v：泊松比，ρ:板材料密度；

对w(x,y,t)，θ_x(x,y,t)和θ_y(x,y,t)进行时空变量分离：

w(x,y,t)＝W(x,y)e^jωt,

其中二元变量W(x,y)表示板(x,y)位置的振动幅值，二元变量表示板(x,y)位置绕x轴的旋转角，二元变量表示板(x,y)位置绕y轴的旋转角；j为虚数单位，且j²＝-1,ω:圆频率(rad/s)；

求Π的变分且令变分等于0，即

对变量W(x,y),进行二元变量分离有：

W(x,y)＝W_x(x)W_y(y)

其中W_x(x)，W_y(y)分别表示W(x,y)在x,y方向的分离模态函数，分别表示在x,y方向的分离模态函数，分别表示在x,y方向的分离模态函数

假定已知y向振动模态函数W_y,利用如下变分公式：

δW(x,y)＝W_yδW_x

得到关于x向三个变量的常微分方程组Ⅰ：

其中

假定已知x向振动模态函数W_x,则利用如下变分公式：

δW(x,y)＝W_xδW_y

得到关于y向三个变量的常微分方程组Ⅱ：

其中

步骤二：确定矩形板两个方向的边界条件，在预设定的模态阶数下采用不同方向相互迭代来计算振动频率和振型，直至两个方向计算得到的振动频率误差在某个指定范围时停止；

针对x方向的边界条件定义为三种：

简支边界：W_x＝0,M_xx＝0；

夹紧边界：W_x＝0,

自由边界：V_xz＝0,M_xx＝0,M_xy＝0；

其中力矩

经过计算后得到如下的计算用边界条件：

简支边界：W_x＝0,

夹紧边界：W_x＝0,

自由边界：

针对y方向的边界条件定义为三种：

简支边界：W_y＝0,M_yy＝0；

夹紧边界：W_y＝0,

自由边界：V_yz＝0,M_yy＝0,M_xy＝0；

其中力矩

经过计算后得到如下的计算用边界条件：

简支边界：W_y＝0,

夹紧边界：W_y＝0,

自由边界：

步骤三：利用最终得到的两个方向的振动模态进行叠加得到矩形板振动模态。