[发明专利]一种条件偏转近似次梯度的多项式动态规划方法

权利要求书

1.一种条件偏转近似次梯度的多项式动态规划方法，其特征在于，包括冶炼与精炼阶段的机器能力拉格朗日松弛策略、基于动态规划的松弛问题近似求解方法、近似次梯度水平算法求解对偶问题和基于列表调度的启发式规则构造可行解算法；所述冶炼与精炼阶段的机器能力拉格朗日松弛策略采用基于工件单元分解的松弛策略，利用Lagrange松弛策略求解炼钢-连铸重调度问题；具体的：

通过引入Lagrange乘子{λ_i}

松弛约束式c_i+1，S-c_i，S-p_i+1，S≥0，i，i+1∈Ω_k，1≤k≤M_S (1)

和乘子{λ_j，t}

松弛约束式

其中，

可得到如下松弛问题

其中，

约束条件为式

c_{i，s(i，g+1)}-c_i，s(i，g)-P_{i，s(i，g+1)}≥T_{s(i，g)，s(i，g+1)}，i∈Ω，1≤g＜S (7)

c_i，S-p_i，S+1≥A_S，k，i＝b(k-1)+1，1≤k≤M_S (9)

c_i，g≥p_i，s(i，g)，i∈Ω，1≤g≤S (10)

x_i，g，t∈{0，1}，i∈Ω，1≤g≤S，1≤t≤T (11)

和乘子约束

λ_i≥0，b(k-1)＜i＜b(k)，1≤k≤M_S (14)

λ_j，t≥0，1≤j＜S，1≤t≤T (15)

对于给定的乘子λ，松弛问题(3)可分解为|Ω|个工件单元的子问题，即

其中，

式中，i为炉次序号，Ω为含有所有未完工和开工的炉次的集合，i∈Ω，|Ω|为总炉次数；N为浇次总数；n为浇次序号，n＝1，2，...，N；j为工序序号，1≤j≤S；M_j为第j工序的设备数，M_j≥1；s(i，g)为炉次i的第g个操作所经过的工序；Ω_n为第n个浇次中所有未完工炉次的有序集合，|Ω_n|表示第n个浇次中炉次的个数，且有且n₁≠n₂，Ω₁∪Ω₂∪…∪Ω_n＝Ω；b(k)为第k个浇次的末炉次序号，b(k)＝b(k-1)+|Ω_k|，b(0)＝0，k＝1，2，...，M_S，b(M_S)＝|Ω|，则Ω_k＝{b(k-1)+1，…，b(k)}，Ω＝{b(0)+1，b(0)+2，…，b(1)，b(1)+1，…，b(M_S)}；O_i为工件i在重调度起始时刻时已开工的操作，包括已完工和正在加工的操作；为炉次i在工序j的作业时间调整上限；为炉次i在工序j的作业时间调整下限；T_j，j+1为炉次在工序j和工序j+1之间标准的运输时间；A_j，k为第j个工序的第k台机器在重调度中的可用时刻；如果炉次i的第g个操作在原调度中的第s(i，g)个工序的第k台机器于时刻t开工，则为1，否则为0；为炉次i的第g个操作在原调度中的完工时刻，g∈O_i；为炉次i在原调度中的工序j的加工时间；W₁为炉次完工时间惩罚系数；W₂为炉次驻留时间惩罚系数；W₃为断浇时间惩罚系数；T为生产计划的最长时间；x_i，g，t为0/1变量，当且仅当炉次i的第g个操作在第t分钟开始加工时为1，否则为零；c_{i, g}为炉次i在第g个操作的作业完工时间；y_{i，g，k，t}为0/1变量，当且仅当炉次i的第g个操作在重调度中的第s(i，g)个工序的第k台机器于时刻t开工，则为1，否则为0；p_ij为炉次i在工序j的加工时间；

所述基于动态规划的松弛问题近似求解方法包括如下步骤：

S1、由基于工件单元分解的松弛策略可知：

其中，X是未松弛的约束所形成的可行域，L_i(λ，xⁱ)为对应于工件i的子问题；在次梯度算法中，设L(λ_k，x_k)为当前迭代点的函数值，λ_k+1为下一个迭代点，在精确求解松弛问题的方法中，x_k+1满足如下条件

由式(23)可知，松弛问题由多个子问题组成，因而可以考虑求解单个子问题，以满足某种下降的度量；

S2、设r∈(0，1)为下降比率，令s＝0为累计下降幅度，i＝1；

S3、令

S4、令如果s≥rL(λ_k+1，x_k)，则令x_k+1＝x_k，停止求解；否则，令i＝i+1，转到下一步；

S5、如果i＝|Ω|，则令x_k+1＝x_k，停止求解；如果i＜|Ω|，则转到步骤S3；

所述基于列表调度的启发式规则构造可行解算法的基本思想是结合松弛问题所得到的工件开始加工时间、目标函数系数和列表调度方法，具体如下：

步骤1：设m_ij在初始调度中为工件i在工序j的加工机器序号， 1≤m_ij≤M_j，1≤j＜S；{c_{i, g}|i∈Ω，1≤g≤S}和{p_ij|i∈Ω，1≤j≤S}为松弛问题的解，T_j是集合(t_i，g＝c_i，g-p_ij|(i，g)∈O_j}，1≤j≤S， 中所有元素由小到大排列而成，T_j[n]为列表T_j中的第n个元素，J_j，k为在第j个工序的第k台机器上的加工工件的集合；

令j＝1，n＝1，|J_j，k|＝0，1≤k≤M_j；

步骤2：令

步骤3：如果n≤|Ω|，转到步骤2；如果j＜S-1，令j＝j+1，转到步骤2；其它情况，转到下一步；

步骤4：设T_j，k是集合J_j，k中所有元素由小到大排列而成，T_j，k[n]为列表T_j，k中的第n个元素，则令

步骤5：将原问题中的机器能力约束式(1)替换为式(25)，同时不考虑约束式(4)～(6)和式(11)，利用上述信息，求解原问题将得到原问题的一个可行解；

利用近似次梯度水平算法求解炼钢-连铸重调度问题的对偶问题，其算法如下；

步骤1、初始化：设初始值ε₁＞0，ε₁＞＞ε₂＞0，λ₀≥0，δ₀＞0，β∈(0，1)，t∈(0，1)，σ_max＞0，N＞0；令F(λ)＝-L(λ)，λ_best＝λ₀，σ₀＝0，k＝0，r＝0，l＝0，s＝0，M[l]＝0，D[s]＝0，h(l)＝1/(l+1)，λ_best＝λ₀，P_best＝P(λ₀)，

步骤2、函数值计算：

步骤2.1、如果则令λ_best＝λ_k；否则令

步骤2.2、如果P_best＜P(λ_k)，则令P_best＝P(λ_k)；

步骤3、充分下降检测：如果则令M[l+1]＝k，σ_k＝0，δ_l+1＝δ_l，h(l+1)＝h(l)，l＝l+1；

步骤4、弱过低估计检测：令r＝r+1，如果r＞N且则令表示向下取整，

如果r＞N，则令r＝0；

步骤5、强过低估计检测：如果σ_k＞h(l)σ_max，则令M[l+1]＝k，λ_k＝λ_best，σ_k＝0，δ_l+1＝βδ_l，h(l)＝1/(l+1)，l＝l+1，s＝s+1，D[s]＝l；

步骤6、乘子更新：

条件偏转近似次梯度的定义如下：

其中，简记为其是F(λ)的条件近似次梯度，β_k为偏转系数，T_Φ(λ)为Φ在λ处的切锥；

令按式(26)～(28)更新乘子，其中

步骤7、搜索路径累加：令

步骤8、终止条件：如果或则终止迭代；否则，转到步骤2；

式中，ε₁＝1e-3表示对偶函数下降的幅度比例，δ₁＝(P(λ₀)+F(λ₀))/5实质上是F(λ)-F^*的一个估计；F(λ₀)＝-L(λ₀)是对偶问题的一个值；σ_max＝(P(λ₀)+F(λ₀))/||g(λ₀)||则是对||λ₀-λ^*||₂的一个估计，可以通过原问题的目标函数推知F^*的下界，而F(λ₀)作为上界，这样就得到了F(λ)-F^*的一个估计，随后可令σ_max＝δ₀/||g₀||₂得到||λ₀-λ^*||₂的一个粗略估计。