[发明专利]一种预测可展开复合材料伸展臂折叠性能的方法

权利要求书

1.一种预测可展开复合材料伸展臂折叠性能的方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一、定义可展开复合材料伸展臂几何形状与尺寸，确定各个几何参数之间关系的数学表达式；

可展开复合材料伸展臂一共有两种类型的折叠方式，当可展开复合材料伸展臂的盘绕方向面向开口方向时，称为正向折叠；当可展开复合材料伸展臂的盘绕方向背向开口方向时，称为反向折叠；；可展开复合材料伸展臂初始状态下的几何构型由长度L、厚度t、横截面半径R以及圆心角θ确定；为了表征可展开复合材料伸展臂在正向折叠和反向折叠变形过程中的几何模型，本文做出如下基本假设：

(1)将可展开复合材料伸展臂整个折叠过程分为两个阶段，第一阶段包括卷曲段、过渡段以及自由段；当可展开复合材料伸展臂折叠到一定程度时，自由段消失，折叠过程进入第二阶段，第二阶段只有卷曲段和过渡段；

(2)卷曲状态下的可展开复合材料伸展臂纵截面中心线形状为阿基米德螺旋线；

(3)忽略可展开复合材料伸展臂在折叠变形过程中的壁厚变化，因此，整体变形可以通过中性面的形状和曲率半径的变化来描述，中性面没有被拉伸；

根据基本假设(2)，可展开复合材料伸展臂折叠状态的卷曲变形可以用极坐标(ρ₁，α)下的多项式形状函数来描述，即

ρ₁＝aα+b，α∈α₀,α₁ (1)

根据几何关系，式(1)需要满足的边界条件为

其中，r₀和r₁分别为折叠状态下可展开复合材料伸展臂的完全卷曲状态的起点和终点的极径；

通常，α₀＝0，则式(2)可以化简为

根据基本假设(3)可得

将式(1)-(3)代入到式(4)中并进行积分，可得

显然，式(5)是一个隐式函数，可以通过牛顿迭代法进行数值求解未知量a；

根据曲率半径定义，可展开复合材料伸展臂卷曲过程中x方向的曲率可以表示为

其中，ρ₂为可展开复合材料伸展臂卷曲过程中x方向的曲率半径；

步骤二、根据经典层合板理论及能量方法确定可展开复合材料伸展臂在正向折叠和反向折叠过程中所需的折叠力矩；

为了建立可展开复合材料伸展臂在正向折叠和反向折叠过程中产生的应变能，将正向和反向折叠过程分为两步；首先在边缘处施加弯矩M_y将可展开复合材料伸展臂y方向的曲率从1/R转变为0，在这一步中外力功转换为弯曲应变能；接着，在可展开复合材料伸展臂两端施加弯矩M_x，将可展开复合材料伸展臂x方向的曲率从0改变为κ_x，在这一步中外力功转换为弯曲应变能；

使用经典层合板中的ABD矩阵，可以表示可展开复合材料伸展臂在折叠过程中的弹性变形

可展开复合材料伸展臂通常选择对称层合板，B＝0，并且由于约束机构的限制作用，扭转变形κ_xy可以被忽略，因此，式(7)可化简为

单位长度可展开复合材料伸展臂由自由状态变为卷曲状态产生的应变能可以表示为

其中，R和θ分别为可展开复合材料伸展臂横截面的半径和圆心角；Δκ_x和Δκ_y可以推导为

其中，Δκ_x的值取决于可展开复合材料伸展臂的折叠方向；当正向折叠时，Δκ_x取正值，当反向折叠时，Δκ_x取负值；

将式(10)代入到式(9)中，可得

可展开复合材料伸展臂在实际折叠过程中，第一步将一端压扁，第二步通过卷轴完成正向折叠和反向折叠过程；因此，在卷曲段和自由段之间存在过渡段；对于从过渡段获得的任意微元，在边缘上存在内矩和面外剪力；x₁,y₁和z₁是位于过渡段中心线上的局部坐标系；过渡段任意微元上合力和合力矩满足的平衡方程为

可展开复合材料伸展臂主要变形为弯曲引起的曲率变化，面内力对法向力的影响较小，忽略面内力对法向受力平衡方程的影响；因此，可将式(12)简化为

根据经典层合板理论，内力矩和曲率变化存在如下关系：

和

其中，和为可展开复合材料伸展臂自由状态的初始曲率；

过渡段的为0，弯曲曲率与扭曲率之间满足的变形协调方程为

将式(14)-(17)代入到式(13)中并进行化简可得

显然，式(18)为二次偏微分方程，满足的边界条件为

其中，L₁为过渡段的长度；

使用分离变量法获得了满足边界条件的二次偏微分方程的近似解，为

其中，H₁、H₂、H₃和H₄是中间变量，分别为

将式(18)-(24)代入式(17)可以推导出

因此，过渡段的应变能可以表示为

将式(20)和(25)代入式(26)中，并使用最小应变能原理可以获得过渡段的长度L₁；

显然，式(27)是隐式函数，可以通过牛顿迭代法进行数值求解；将获得的L₁代入到式(26)中可以获得过渡段产生的应变能；

当可展开复合材料伸展臂折叠到一定程度时，自由段会消失，折叠过程变为第二阶段，第二阶段分为卷曲段和过渡段；第一阶段和第二阶段的临界极角可以推导为

同样，式(28)是隐式函数，通过牛顿迭代法进行数值求解临界极角α_c；

因此，相对于初始状态，可展开复合材料伸展臂在第一阶段任意折叠状态时储存的应变能增量可以表示

U₁α＝∫₀^αρ₁u αdα＝∫₀^αaα+r₀ uαdα，0≤α≤α_c (29)

通过牛顿-莱布尼茨公式，可展开复合材料伸展臂在第一阶段的折叠力矩可以推导为

在第二阶段中，随着折叠过程的进行，过渡段的长度逐渐减小；过渡段减少的长度可以表示为

过渡段减小的长度部分储存的应变能可以推导为

因此，相对于第二阶段的起始状态，可展开复合材料伸展臂在第二阶段储存的应变能增量可以表示

通过牛顿-莱布尼茨公式，可展开复合材料伸展臂在第二阶段的折叠力矩可以推导为

综上所述，可展开复合材料伸展臂在整个折叠过程中的折叠力矩可以表示为

步骤三、根据Tsai-Hill准则和最大应力准则，推导了Tsai-Hill准则失效系数表达式和最大应力准则失效系数表达式；

根据基本假设(2)，可展开复合材料伸展臂在正向和反向折叠过程中x方向的曲率半径逐渐增大，曲率逐渐减小，因此，可展开复合材料伸展臂在起点位置具有x方向最大的应变和应力；可展开复合材料伸展臂在正向和反向折叠过程中x方向上曲率变化的最大值为

可展开复合材料伸展臂在折叠过程中，y方向上曲率变化的最大值为

；

层合板中危险点第k层的应力-应变关系式为

将式(36)和(37)代入到式(38)中并进行化简可得

根据层合板中第k层的应力分量坐标转化方程，层合板中第k层的主方向最大主方向应力可表示为

将式(39)至式(41)代入到式(42)可得

层板失效准则可分为相互作用理论和极限理论；在相互作用理论中，例如Tsai-Hill准则，考虑应力分量之间的相互作用，通常通过考虑每个分量对结构内总应变能的贡献；在极限理论中，例如最大应力失效理论，将局部应力和局部应变分量与其对应的强度进行比较，忽略了分量之间的相互作用；基于以上两种失效准则，使用失效系数来分析可展开复合材料伸展臂在在正向折叠和反向折叠过程中的应力水平；当失效系数I_f达到或者超过1时，可展开复合材料伸展臂发生失效，否则，并没有失效；

Tsai-Hill失效系数I_f,1可以用以下公式计算

其中，

其中，X_t和X_c分别是复合材料纵向拉伸强度和压缩强度，X₁和X₂分别是复合材料纵向强度，Y_t和Y_c分别是复合材料横向拉伸强度和压缩强度，Y是复合材料横向强度；当失效系数达到或者超过1时，可展开复合材料舱段发生失效，否则，不发生失效；

最大应力准则失效系数I_f,2可以用以下公式计算