[发明专利]基于低秩张量环分解和因子先验的视觉数据补全方法

权利要求书

1.一种基于低秩张量环分解和因子先验的视觉数据补全方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤S1)目标张量初始化，具体包括以下子步骤：

S11)获取不完整的原始视觉数据，通过Matlab软件将具有缺失条目的原始视觉数据文件读入，并存储为张量形式，得到待补全张量取原始视觉数据的所有已知像素点的索引位置组成观测索引集Ω；

S12)根据待补全张量初始化目标张量/使得映射关系满足/其中为Ω的补集，表示缺失索引集，/表示目标张量/的已知条目，/表示待补全张量/的已知条目，/表示目标张量/的缺失条目；

步骤S2)模型建立，具体包括以下子步骤：

S21)通过从不完整的原始视觉数据的已知条目中找到对应的张量环分解表示，然后利用所得到的张量环分解表示的TR因子来估计原始视觉数据的缺失条目，得到简单张量环补全模型为：

其中，表示TR因子集合，/表示第n个TR因子，n＝1,2,...,N，/是张量环分解表示，/表示在观测索引集Ω下的投影操作，||·||_F表示张量的Frobenius范数；

为了解决这类低秩张量补全方法依赖于初始秩的问题，下面对简单张量环补全模型进行了改进；

S22)首先引入变换张量奇异值分解，并介绍了涉及的张量基础代数知识

张量酉变换：对于三阶张量假设/是一个酉变换矩阵，满足ΦΦ^H＝Φ^HΦ＝I，张量/的酉变换定义为：

其中，表示张量/的酉变换，/表示张量/与矩阵Φ的模3乘积，I表示单位矩阵，上标H表示矩阵的共轭转置，/表示实数域，I_k′,k′＝1,2,3分别表示张量/的第k′阶上的维度大小；

块对角矩阵：基于的所有正向切片的块对角矩阵定义为：

其中，是/的第i个正向切片，i＝1,2,...,I₃，而/能够通过折叠算子fold(·)转换为一个张量，即/

张量Φ积：两个三阶张量之间的Φ积由酉变换域内正向切片的乘积定义，对于两个张量和/张量Φ积定义为：

其中，*_Φ表示张量Φ积符号，表示张量/的酉变换，张量Φ积结果是一个三阶张量上标H表示共轭转置，I₄表示张量/第二阶上的维度大小；

变换张量奇异值分解：主要用于三阶张量的因式分解，采用酉变换矩阵Φ代替传统张量奇异值分解中的离散傅里叶变换矩阵，对于一个三阶张量其变换张量奇异值分解表示为：

其中，和/均为酉张量，/为对角张量，

基于变换张量奇异值分解，能够定义变换张量核范数，对于三阶张量假设是一个酉变换矩阵，张量/的变换张量核范数定义为：

其中，||·||_TTNN表示变换张量核范数，||·||_*表示矩阵核范数，表示/的第i个正向切片的矩阵核范数，也即矩阵/的所有奇异值之和；

由于张量秩与TR因子的秩满足关系其中X_(n)表示张量/的标准模n展开矩阵，/表示/的标准模2展开矩阵，rank(·)表示矩阵的秩函数，利用变换张量核范数来进一步约束每一个TR因子，得到基本低秩张量环补全模型为：

其中，目标张量N表示目标张量/的阶数，I_n表示/的第n阶的维度大小，表示TR因子集合，/表示第n个TR因子，R_n-1、I_n和R_n分别表示三种维度大小，||·||_TTNN表示变换张量核范数，λ＞0是权衡参数；当上述基本低秩张量环补全模型被优化时，所有TR因子的变换张量核范数和目标张量的拟合误差同时最小化，在这个基本低秩张量环补全模型中，基于给定的三阶TR因子/构造了一个酉变换矩阵/由于/是未知的，能够迭代地更新Φ_n，这个过程表示为：

其中，表示/的标准模3展开矩阵，/表示展开矩阵/的奇异值分解，U和V分别表示左奇异矩阵和右奇异矩阵，S表示对角矩阵，在变换张量奇异值分解中选择U^H作为酉变换矩阵，假设/的秩满足/然后通过执行张量酉变换/就会得到张量/的最后R_n-r个正向切片全是零矩阵，因此，U^H作为一个酉变换矩阵将有助于进一步探索TR因子/的低秩信息；

S23)为了进一步提高视觉数据的补全性能，添加因子先验来充分利用数据的潜在信息，

在张量环分解中，任意第n个TR因子分别代表原始视觉数据的第n阶上的信息，将原始视觉数据的像素局部相似性描述为精确的因子先验，定义单因子图的权重如下：

其中，row和column分别表示行空间和列空间，若k＝row，那么i_k和j_k分别表示行空间的任意两个索引位置，w_ij为相似度矩阵的第(i,j)个元素，σ为所有成对距离i_k-j_k的平均值，令/为对角矩阵，矩阵D中第(i,i)个元素为∑_jw_ij，由此得到拉普拉斯矩阵L＝D-W；

利用TR因子的低秩假设和图正则化的因子先验，得到基于低秩张量环分解和因子先验的视觉数据补全模型为：

其中，上式第一行表示基于低秩张量环分解和因子先验的视觉数据补全模型的目标函数，第二行表示该目标函数的约束条件，α＝[α₁,α₂,…,α_N]是一个图正则化参数向量，μ,λ是权衡参数并且μ＞0，λ＞0，tr(·)为矩阵迹操作，拉普拉斯矩阵描述了第n个TR因子内部的相互依赖关系，/表示第n个TR因子/的标准模2展开矩阵，上标T表示矩阵的转置；

步骤S3)模型求解，具体包括以下子步骤：

S31)构造增广拉格朗日函数

为了使用交替方向乘子法ADMM计算框架来求解基于低秩张量环分解和因子先验的视觉数据补全模型的目标函数，首先引入了一系列辅助张量来简化优化，因此该目标函数的优化问题被重新表示为：

其中，集合表示一个张量序列，/表示第n个TR因子/的对应辅助张量，通过结合辅助张量的附加等式约束/得到该目标函数的增广拉格朗日函数为：

/

其中，是拉格朗日乘子集合，/是第n个拉格朗日乘子，β＞0是一个惩罚参数，x,y表示张量内积；

然后，对于每个变量，通过固定除该变量之外的其他变量，并依次求解步骤S32)至步骤S35)中每个变量分别对应的优化子问题，交替更新每个变量；

S32)的更新

关于变量的优化子问题被简化为：

其中，X_＜n＞表示目标张量的循环模n展开矩阵，/表示除第n个TR因子/外的所有因子经多线性乘积合并生成的子链张量的循环模2展开矩阵；

通过将上述变量的优化子问题相对于/的一阶梯度设为零，上述变量/的优化子问题的解等于求解以下一般的Sylvester矩阵方程：

其中，X_＜n＞表示目标张量的循环模n展开矩阵，和/分别表示/和/的标准模2展开矩阵，/是一个单位矩阵；由于矩阵-L_n和矩阵/没有共同的特征值，因此该Sylvester矩阵方程有唯一解，其求解通过调用Matlab中的Sylvester函数实现；

S33)的更新

在更新后，首先根据以下公式来更新变换张量核范数中的第n个酉变换矩阵Φ_n，

其中，表示/的标准模3展开矩阵，/表示展开矩阵/的奇异值分解，U和V分别表示左奇异矩阵和右奇异矩阵，S表示对角矩阵；

然后，关于变量的优化子问题被简化为：

令和/上述变量/的优化子问题等价于：

进一步地，能够通过变换张量奇异值分解表示为/其中/表示在酉变换矩阵Φ_n下的张量Φ积，/和/均为酉张量，/为对角张量；

变量的优化子问题能够通过张量奇异值阈值t-SVT算子来求解，求解结果表示为：

其中，中间变量的求解通过首先对/做张量酉变换得到/再根据公式/得到/最后根据/得到中间变量/其中/表示取/和0中更大的一个；

S34)的更新

关于变量的优化子问题被表述为：

这是一个具有等式约束的凸优化问题，变量被更新为：

其中，表示在观测索引集Ω下的投影操作，/表示在缺失索引集/下的投影操作；

S35)的更新

基于交替方向乘子法ADMM计算框架，拉格朗日乘子被更新为：

此外，所述目标函数的增广拉格朗日函数的惩罚参数β在每次迭代中通过β＝min(ρβ,β_max)来更新，其中1＜ρ＜1.5是一个调优超参数，β_max表示设定的β上限，min(ρβ,β_max)表示取ρβ和β_max中更小的一个作为当前的β值；

S36)迭代更新

重复步骤S32)-S35)，通过多次迭代来交替更新每个变量，设置两个收敛条件：最大迭代次数maxiter，以及两次迭代之间的相对误差阈值tol，其中，两次迭代之间的相对误差计算公式为表示当前的/值，/表示上一次迭代的/值；当同时满足上述两个收敛条件时，即达到最大迭代次数maxiter，并满足两次迭代之间的相对误差小于阈值tol时，结束迭代，得到目标张量/的解；

步骤S4)将得到的目标张量的解转换为原始视觉数据的对应格式，得到不完整的原始视觉数据的最终补全结果。