[发明专利]一种离散时间非线性系统的状态稳定性判定方法

说明书

本发明公开了一种离散时间非线性系统的状态稳定性判定方法，允许李雅普诺夫函数的导数在某些区间内正定的情况下判定系统的输入‑输出状态稳定性(IOSS)。同时，将所得结果推广到切换系统中，提出了新的不定多重李雅普诺夫函数。该方法除了允许子系统的李雅普诺夫函数可以非严格递减外，也允许IOSS切换系统的任意子系统都可以是非IOSS的。最后，针对一个系统数值实例进行了仿真实验，证明了该方法对切换系统IOSS判断的有效性和优越性。

技术领域

本发明涉及一种离散时间非线性系统的状态稳定性判定方法。

背景技术

切换系统由一系列由微分或差分方程描述的子系统以及一个控制子系统之间的切换过程的切换信号组成。近年来，切换系统在化工、汽车工业、过程控制等实际复杂系统的分析和建模中得到了广泛的应用和发展，因此在过去十年切换系统的稳定性引起了较大的关注。然而，切换系统的分析比典型的非线性系统要困难得多。主要是因为子系统的特性并不直接影响其组成的切换系统，且子系统本身和系统间的切换过程都会影响到整个切换系统的稳定性。因此，即使所有子系统都渐进稳定，也并不能保证整个系统是稳定的。

另一方面，输入-状态稳定性(ISS)作为一种系统鲁棒性的基本概念^[8]在非线性系统的分析中被广泛应用。输出到状态稳定性(OSS)是建立在可测输出基础上的非线性系统状态稳定性。李亚普诺夫函数作为检验这些稳定性概念的验证工具，在各种复杂系统中下得到了广泛的拓展和应用。

李雅普诺夫函数的本质是系统的能量函数。在非线性系统中的应用为：如系统存可以构造出一个正定的李雅普诺夫函数，且其时间导数为负定，那么该系统是渐近稳定的，但是李雅普诺夫函数一般靠经验选取，对李雅普诺夫导数为负的约束无疑增加了选取的限制。

另一方面，作为ISS和OSS的结合，IOSS性质表明，不论初始状态，只要输入和输出是有界的，那么状态最终会衰减为一个足够小的值。此外，如果一个系统是IOSS的，那么必然可以设计出一个状态范数估计器。这一特性在分析非完全能观系统中具有重要意义。

然而，切换系统的稳定性分析要比典型的非线性系统复杂得多。Muller指出，一个全部渐近稳定的子系统组成的切换系统也可以是不稳定的。近年来有几种方法被提出以研究非线性切换系统的稳定性。第一种方法是公共李雅普诺夫函数法，该方法表表明，如果所有子系统都有一个共同的李雅普诺夫函数，那么整个切换系统就一定稳定。然而，公共的李亚普诺夫函数很难构造，甚至在大多数系统中并不存在。因此，进一步的研究重点转向了对于切换信号施加限制来保证切换系统的稳定性。其中一种常用的方法是基于平均驻留时间法(ADT)，另一种则是多重李雅普诺夫函数(MLF)。

近年来，基于上述方法的切换系统稳定性的判定取得了丰硕的成果。有文献基于ADT为线性离散切换系统提出了新的渐近稳定性条件；有文献为线性切换系统提出了一种新的寻找公共李雅普诺夫函数的方法。但由于非线性的情况更为复杂，上述方法不能直接延伸到非线性系统中来。基于ADT和MLF的非线性切换系统IOSS相关的结果也被相继提出。但需要注意的是，上述结果都存在一些普遍的限制。首先，文献中要求切换系统的所有或者部分子系统为IOSS系统，这在某种程度上限制了被验证系统的范围；除此之外，各子系统的李亚普诺夫函数对时间的导数都被要求为严格负定，这无疑加大了选定李亚普诺夫函数的难度。

近年来的工作主要面对连续切换系统，在非线性离散切换系统方还未涉及。

为了解决上述问题，有文献中提出了一种不定李雅普诺夫函数法来研究非线性系统的ISS；该方法随后被应用于非线性离散系统的稳定性验证；此外，Zhou在文献[ZhouB.and EgorovA.V.，Razumikhin and krasovskii stability theorems for time-varying time-delay systems[J].Automatica(0005-1098)，2016，(71)：281-291.27]中扩展了不定李亚普诺夫函数并将其应用于时滞系统。