[发明专利]一种基于压缩感知理论的联合稀疏信号降维梯度追踪重构算法

权利要求书

1.一种基于压缩感知理论的联合稀疏信号降维梯度追踪重构算法，其特征在于，降低原联合稀疏信号的宽度之后，再用梯度追踪算法恢复出原信号；在压缩感知理论的基础上，当感知矩阵A的最大线性无关列σ(A)、稀疏度K、观测矩阵的秩rank(Y)满足：σ(A)≥2K-(rank(Y)-1)时,那么就能够恢复出式(1)的唯一稀疏解，其中Y_M×L表示矩阵维度为M×L的观测矩阵，A_M×N表示矩阵维度为M×N的感知矩阵，X_N×L表示矩阵维度为N×L的被测信号；结合利用压缩感知理论时压缩比需要满足的要求，即式(2)，推导出在联合稀疏信号的宽度L、稀疏度K和信号长度N满足：L≥(2K+1)-cKlog(N/K)时，信号能够被成功恢复出来，因此考虑将高维信号降维到临界情况，使宽度L满足L＝L₁＝[((2K+1)-cKlog(N/K))]_取整+1，其中c是一个常数，近似为1；利用降维后的信号进行重构时使用梯度追踪算法；

Y_M×L＝A_M×NX_N×L                  (1)

M≥cKlog(N/K)    (2)

L₁＝[((2K+1)-cKlog(N/K))]_取整+1    (3)；

具体步骤如下：

步骤一、输入输出数据

1.1输入:Y，A，L，ε，K，MaxIters，c；

1.2输出:Γⁿ，flag；

输入数据中:Y是大小为M×L的观测矩阵；A是大小为M×N的感知矩阵；N是信号的长度，M为观测矩阵Y和感知矩阵A的行数，L为信号的宽度，K是联合稀疏信号的稀疏度；MaxIter用来控制算法主体的最大迭代次数；ε是残差指标，即残差值需小于等于ε，残差是实际值与估计值之间的差，当信号重构的残差满足小于e-15级数时视为成功重构，e是自然对数的底数，其值是2.71828...,c为1；

输出数据中：是重构出的联合稀疏信号；Γⁿ是最终支撑集，所有被选择索引的集合；flag是重构是否成功的标志，flag值是false表示没有重构成功，flag值是true表示重构成功；

步骤二、数据初始化

2.1X⁰＝0_N×L，iter＝1,flag＝false；

稀疏解X⁰的初始值为N×L的零矩阵；索引集Γ⁰的初始状态为空集；降维迭代次数iter置为1；重构是否成功的标志flag初始状态为false；

2.2计算降维后的信号宽度L₁，L₁＝[((2K+1)-cKlog(N/K))]_取整+1；

将初始参数K、N的值带入式(3)，式子(2K+1)-cKlog(N/K)的计算结果取整再加1，计算得出L₁的值，作为降维维度；

步骤三、DRGP算法主体：While循环语句

DRGP算法主体是将稀疏度不同的信号降维到不同的维度，然后进行信号重构，若信号重构失败则重新进行降维再重构，直到信号重构成功或降维次数iter超过最大降维迭代次数MaxIter；DRGP算法主体运行结束有两种情况，一种情况是降维迭代次数iter不超过最大降维迭代次数MaxIter的情况下信号重构成功，另一种情况是，信号重构失败但降维迭代次数iter已经超过了最大降维迭代次数MaxIter；

3.1While语句执行的条件是：迭代次数iter不超过最大迭代次数MaxIters并且重构是否成功的标志flag的状态是flag＝false即还没有重构成功，两者不满足其一即停止While循环；

While语句执行的内容是：

3.2随机生成一个大小为L×L₁的矩阵B；

3.3观测矩阵Y与随机矩阵B相乘得到降维后的观测矩阵目的是将观测矩阵Y进行降维处理转化为宽度为L₁的观测矩阵

3.4令残差初始值

步骤四、DRGP算法局部：梯度追踪算法，即For循环语句，在算法主体While循环之内；

4.1For语句控制梯度追踪迭代次数，n＝1:K，循环执行K次；

For语句在While循环语句内，也就是While语句每循环一次，for语句被完整执行一次即循环K次，For语句执行过程中，带有n上标的符号都代表第n次迭代；

For语句执行的内容是：

4.2计算降维前的梯度矩阵，相当于正交匹配追踪OMP算法当中残差与感知矩阵的内积计算：gⁿ＝Y，A，gⁿ是一个大小为N×L的矩阵，Y的每一列分别与感知矩阵A的每一列进行内积计算，得到L个观测列向量；

4.3计算降维后的梯度矩阵：是一个大小为N×L₁的矩阵，的每一列分别与感知矩阵A的每一列进行内积计算，得到L₁个观测列向量；

4.4对降维后的梯度矩阵每一行求二范数，行向量的二范数是每一行各个元素平方之和再开根号：得到一个N×1的列向量Iⁿ，针对这N个数据进行索引；

4.5索引选择是列向量Iⁿ的第i个元素，先对Iⁿ所有元素取绝对值，然后取绝对值最大的元素所对应的位置索引记为iⁿ，i的大小范围是1-N；

4.6索引支撑集扩充：Γⁿ＝Γ^n-1∪iⁿ，Γ^n-1是上一次迭代即第n-1次迭代的支撑集，Γⁿ是本次迭代即第n次迭代的新的支撑集，将上一步4.5所得的索引iⁿ添加到支撑集当中进行支撑集更新；

使用最速下降梯度追踪方法更新方向：

4.7dⁿ初始状态为N×L的零矩阵，提取降维前的梯度矩阵gⁿ中索引集Γⁿ对应行的数据即作为矩阵dⁿ对应行的新数据，dⁿ中索引集之外其它行保持为零，得到本次迭代中即第n次迭代更新稀疏解所需的方向矩阵

4.8初始状态为N×L₁的零矩阵，提取降维后的梯度矩阵中索引集Γⁿ对应行的数据,即作为矩阵对应行的新数据，中索引集之外其它行保持为零，得到本次迭代中即第n次迭代更新残差所需的方向矩阵

使用最速下降梯度追踪方法更新步长：

4.9计算中间量其中为矩阵A保留索引集对应列的数据，其他列为零；

4.10计算步长向量其中为残差与中间量的内积计算，的列向量与的对应列向量进行内积计算，得到L₁个内积值，组成一个1×L₁的行向量aⁿ，其中为上一次迭代即第n-1次迭代的残差值；

4.11计算步长向量aⁿ的模aⁿ_＝|aⁿ|＝sqrt(sum(abs(aⁿ).^2))，作为新的步长，求向量的模即计算向量二范数，向量的二范数是向量各元素的平方之和再开根号；

更新残差：

4.12新的残差与上一次迭代的残差的差值为步长|aⁿ|与中间量的乘积；

更新稀疏解：

4.13每次更新稀疏解，就是在上一次迭代所得的稀疏解的基础上加上一项步长向量aⁿ的模aⁿ_与降维前的方向矩阵的乘积；

4.14结束For语句；

步骤五、重构是否成功的标志flag的状态更新：判断残差是否符合要求即是否在For语句之外，While语句之内；

残差小于等于残差指标代表信号重构成功，重构是否成功的标志flag＝true；残差大于残差指标代表信号重构失败，重构是否成功的标志flag＝false；因此残差是否符合要求决定了重构是否成功的标志flag的状态；

5.1如果残差不符合要求，即ε是残差指标，已知的一个常数；

5.2保留参数flag的状态，flag＝false；

5.3降维重构迭代次数即While语句执行次数增1，iter＝iter+1；

5.4如果残差符合要求，改变参数flag的状态，flag＝true；

步骤六、结束While循环，输出结果

6.1end while；

6.2取最后一次迭代所求得的稀疏解作为最终重构出的稀疏信号

6.3输出结果索引集Γⁿ以及重构是否成功的标志flag。