[发明专利]基于微分求积法的功能梯度输流管模态及响应分析方法

权利要求书

1.一种基于微分求积法的功能梯度输流管模态及响应分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：建立两端固支的功能梯度输流管道振动控制微分方程；

功能梯度输流管道外径为d，壁厚为h，长度为L，内部流体流速为u，以管道轴线方向为x轴，管道切面径向为z轴；

选择体积分数函数为指数函数形式V₁，用无量纲量表示为：

其中，a表示调节指数型体积分数函数分布的参数；

功能梯度输流管道由两种材料组成，分别为材料1与材料2；材料1与材料2的体积分数函数分别用V₀(x)和V_L(x)表示，令V₀(x)+V_L(x)＝1，则功能梯度输流管道的弹性模量E、密度ρ及轴向热膨胀系数α_x分别表示为：

E＝E(x)＝V₀(x)E₀+V_L(x)E_L (2)

ρ＝ρ(x)＝V₀(x)ρ₀+V_L(x)ρ_L (3)

α_x＝ρ(x)＝V₀(x)α_x0+V_L(x)α_xL (4)

其中，E₀和E_L分别表示材料1和材料2的弹性模量，ρ₀和ρ_L分别表示材料1和材料2的密度，α_x0和α_xL分别表示材料1和材料2的热膨胀系数；

z轴上管道的受力平衡为：

其中，m_p＝ρ(x)A_p表示功能梯度输流管道单位长度质量，A_p表示功能梯度输流管道的横截面积；w表示管道中性面的横向位移，P表示表示单位长度上流体作用力，即法向力，由离心力、科氏力和惯性力三项组成，mf＝ρ(x)A_f表示流体单位长度质量，A_f表示流体的横截面积；Q表示功能梯度输流管道界面上的剪切力；F＝F(x，t)＝N_x＝N_m+N_t表示轴向力，N_m和N_t分别表示机械作用带来的轴向力及温度变化带来的轴向力；θ表示转角；

界面右端中点弯矩平衡为：

其中，M表示弯矩；

假设功能梯度输流管道中的初始轴向力N_m＝0，为由于温度变化产生的作用在功能梯度输流管道上的轴向力，v是泊松比，ΔT表示温度变化量；由Euler-Bernoulli梁理论得到转角弯矩M为：

其中，I表示管道截面二次矩；

则式(5)表示为：

式(8)即为功能梯度输流管道的振动控制方程；

根据两端固支的边界条件：

其中，w(x，t)表示横向位移在轴向坐标为x、时间坐标为t处的取值；

引入无量纲量：

将式(10)带入式(8)得到简化后的控制方程为：

此时边界条件表示为：

Y(0，τ)＝Y(1，τ)＝0

其中，Y(X，τ)表示无量纲横向位移在无量纲轴向坐标为X、无量纲时间坐标为τ处的取值；

步骤2：构造功能梯度输流管道的振动控制方程离散格式；

根据微分求积法，函数的导数值能通过函数值的加权线性和来近似，选取Fung节点从而获得相应的加权系数矩阵：

其中x(i)，i＝1，2，…，N₀时表示内部节点，i＝N₀+1，…，N表示边界节点，N为节点总数；

考虑区间[a，b]上的连续可微一维函数f(x)，f(x)的导数表示为：

其中L_n为线性微分算子，n表示微分阶数，表示加权系数，x_j为N个互异节点a＝x₁＜x₂＜…＜x_N＝b中第j个节点坐标值；

式(15)的精度取决于节点数目和加权系数；一阶导数的加权系数为：

其中，l_j(x)是拉格朗日插值函数；

高阶权系数由递推公式(17)计算：

则功能梯度输流管道的振动控制方程式(11)改写为如下离散形式：

其中，下标b代表边界点，d代表区间内部点，和分别表示以内部节点d和边界节点b划分的整体刚度矩阵的分块矩阵，Y_d和Y_b分别表示内部节点d及边界节点b的无量纲横向振动位移，和分别表示以内部节点d和边界节点b划分的整体阻尼矩阵的分块矩阵，和分别表示以内部节点d和边界节点b划分的整体质量矩阵的分块矩阵；

步骤3：固有频率分析和阵型求解；

设式(18)的解具有如下的形式：

其中是功能梯度输流管道的振幅，Re(ω)表示系统的振动频率；

将式(19)代入式(18)，消去后，得到广义特征值问题：

其中表示系统的质量矩阵，代表系统的阻尼矩阵，是系统的刚度矩阵；

将离散控制方程式(18)写为如下的等价形式：

将式(19)代入(21)，得到离散的位移固有振型：

即式(20)的二次特征值问题转化为一次特征值问题；式中ω是系统的复特征值，用来分析稳定性，ω的虚部表示各阶固有振型的阻尼，ω的实部代表振动的固有频率；对离散的位移固有振型进行拉格朗日插值拟合即得到连续系统固有振型；

步骤4：时域分析方法；

将式(18)改写成如下形式：

其中，

在t-t+Δt的时间区域内，Newmark积分方法采用下列的迭代格式，即：

其中Φ和χ分别是按积分精度和稳定性要求决定的参数；

Newmark积分方法中的时间t+Δt的位移解答{η}_t+Δt是通过满足时间t+Δt的运动方程得到的，即由式(26)得到：

由式(25)得到：

将式(27)带入式(24)，再将得到的式子与式(24)带入式(26)得到从{η}_t，计算{η}_t+Δt的递推公式：

由初始条件进行迭代求解得到系统的无量纲位移响应{η}、无量纲速度响应和无量纲加速度响应根据名义应力法中轴向应力的定义，切应力与节点位移的关系得到：

其中，M′(x)为x坐标处截面弯矩，Q′(x)为x坐标处截面上的剪切力，I_y为横截面对中性轴y的惯性矩，z为高度方向上距离中面的距离，b为横截面在所求切应力处的宽度，为所求切应力处外侧部分面积A^*对中性轴的静矩，即：

以上过程即为功能梯度输流管道的动力响应分析。