[发明专利]一种死区三明治系统的状态和故障估计方法

权利要求书

1.一种死区三明治系统的状态和故障估计方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)利用关键项分离原则和切换函数，构建能准确描述含有故障的间隙三明治系统的非光滑状态空间方程，由于死区非线性特性的特点是输出的大小只与当前时刻的输入的大小有关，与前一时刻的输入输出无关，针对含有执行器故障的死区三明治系统时建立系统的状态空间方程，具体如下：

1-1)建立线性子系统的状态空间方程：根据线性系统理论，线性子系统L₁的状态空间方程如下所示：

根据线性系统理论，线性子系统L₂的状态空间方程如下所示：

其中为第一个线性子系统L₁的状态变量，为第二个线性子系统L₂的状态变量，u∈R^1×1，y∈R^1×1，f∈R^1×1，u_f∈R^1×1，a_f∈R^1×1，b_f∈R^1×1，分别为L₁、L₂的状态转移矩阵，分别为L₁、L₂的输入矩阵，分别为L₁、L₂的输出矩阵，为故障矩阵，u∈R^1×1为输入，y∈R^1×1为输出，f∈R^1×1为系统的故障，a_f为故障环节的系数，b_f为未知的故障环节的输入系数；u_f∈R^1×1为故障环节的输入，是未知的；a_f和b_f由系统故障的先验知识获得，是已知的；假设u_f是有界的，a_f的范数小于1，即|a_f|＜1，因此根据线性系统稳定性条件，故障系统是稳定的，n_i为第i个线性系统的维数，设且

1-2)建立死区子系统的状态空间方程：定义中间变量m(k)、w₁(k)为：

m(k)＝m₁+(m₂-m₁)h(k)

w₁(k)＝m(k)(v₁(k)-D₁h₁(k)+D₂h₂(k))

其中参数D₁为正死区宽度，D₂为负死区宽度，m₁为正线性区斜率，m₂为负线性区的斜率，

为切换函数，

根据死区的输入输出关系得：

v₂(k)＝w₁(k)-h₃(k)w₁(k)＝(1-h₃(k))w₁(k)，

其中

也为切换函数，当h₃(k)＝0时，系统工作在线性区，且v₂(k)＝w₁(k)；当h₃(k)＝1时，系统工作在死区，且v₂(k)＝w₁(k)-w₁(k)＝0，根据死区的输入输出特性得：

由于将公式(3)代入公式(2)中，得：

其中，符号“·”为乘号，其作用是乘法运算；

1-3)建立死区三明治系统的整体状态空间方程：根据公式(1)、公式(2)、公式(4)和则直线电机驱动系统的状态空间方程如下所示：

其中

根据三明治系统的特性可知，只有系统的输出y(k)能够被直接测量，则令其中 0是相应阶数的零矩阵，设

则公式(5)写成如下形式：

其中η_i为考虑系统存在死区非线性特性而引入的切换向量；

2)根据步骤1)构建的含有故障的间隙三明治系统的非光滑状态空间方程，当系统满足观测器的存在性条件时，构造能随含有故障的间隙三明治系统工作区间变化而自动切换的切换比例积分观测器，并给出相应切换比例积分观测器的存在条件和有界性定理，包括如下步骤：

2-1)针对死区三明治系统，构建一种能够同时估计系统状态和故障的切换比例积分观测器，构建死区三明治系统的切换比例积分观测器具体如下：

根据死区三明治系统的状态空间方程公式(6)，构建如下切换比例积分观测器：

其中为第i个工作区间的比例增益，K_ij∈R^1x1为第i个工作区间的积分增益；分别为x(k)、y(k)、f(k)、η_i的估计值，若j＝1、2、3时，i＝j，则v₁(k)为第一个线性子系统的输入，根据公式(7)和公式(1)以及f(k)的表达式，则得到下述公式(8)、公式(9)：

f(k+1)＝a_ff(k)+b_fu_f(k) (9)

其中，K_i为积分增益，

由公式(8)减去公式(9)，定义则得到下述公式(10)：

公式(6)减去公式(7)，得到估计误差的表达式如下：

e(k+1)＝(A_j-K_pjC)e(k)+De_f(k)+Δη_os+ΔA_osx(k) (11)

其中ΔA_os＝A_j-A_i；

将公式(10)、公式(11)合在一起写成矩阵形式，即状态和故障估计误差的矩阵形式如下公式(12)：

对公式(12)进行简化，令

则公式(12)写成矩形相乘的形式，如下式所示：

e_t(k+1)＝A_eje_t(k)+Δ_t(k) (13)

2-2)设Δ_t(k)的范数和e_t(1)的范数均有上界，且两者范数的上界均小于φ_d，用数学式子表示为||Δ_t(k)||≤φ_d，||e_t(1)||≤φ_d，其中，e(1)为初始估计误差，||Δ_t(k)||为Δ_t(k)的任意范数，||e_t(1)||为e_t(1)的任意范数，当j＝1，2，3时，若选择恰当的K_pj和K_ij，使得A_ej的特征值在单位圆内，则状态和故障估计误差的范数均是有界的，均小于即切换比例积分观测器的收敛条件为A_ej的特征值在单位圆内；

3)证明切换比例积分观测器收敛性：对任意的k，||Δ_t(k)||≤φ_d且φ_d为上界常数，则对公式(13)两边作范数运算，由矩阵范数的三角不等式定理，得到下述公式(14)：

其中，||A_ej||为A_ej的任意范数，其中j＝1、2、3，

根据矩阵的谱半径定理，对于A_ej∈R^n×n，总存在一个范数||·||，使得下述公式(15)成立：

||A_ej||≤ρ(A_ej)+ε (15)

根据上述定理，由于选择合适的K_pj、K_ij使得A_ej 的特征值在单位圆内，即矩阵的谱范数ρ(A_ej)＜1，若选择合适的ε满足0＜ε＜1-ρ(A_ej)，根据公式(15)则有：

||A_ej||＜1 (16)

因此，由公式(14)和公式(16)，当k→∞时，状态和故障估计误差的范数||e_t(k)||小于

4)对死区非光滑三明治系统的状态和故障进行估计：由公式(7)得下述公式(17)、公式(18)：

由公式(17)、公式(18)得

根据公式(7)及公式(19)，按照如下流程进行死区非光滑三明治系统的状态和故障的估计：

4-1)初始化状态变量的估计值及故障的估计值：令并计算令

4-2)令k＝3；

4-3)判断k是否小于等于N，若k≤N，则执行步骤4-4)；否则结束运行；

4-4)若则进行如下操作：

若则进行如下操作：

若则进行如下操作：

其中，参数的含义为第k步中所有状态的估计值，

若非光滑三明治系统的两个子系统L₁、L₂是二阶系统，则整个系统为四阶的，有4个状态变量，采用迭代法求解系统微分方程的过程中，每一步都需要计算系统的4个状态量，即第k步第1个状态、第k步第2个状态、第k步第3个状态和第k步第4个状态，因此，用N行4列的矩阵x来保存所有状态，第k步的4个状态，保存在矩阵x第k行的1至4列中，写成x(k,[1:4])，简写为x(k,:)，

4-5)k的值加1，重复步骤4-3)。