[发明专利]基于滤波的图聚类方法

权利要求书

1.一种基于滤波的图聚类方法，该方法包括以下步骤：

步骤1：给定一个无向图其中表示结点，代表了无向图中的结点数，X＝[x₁，…，x_n]^T为图结点的特征向量，A表示了结点之间的联系，即邻接矩阵，其中，a_ij＝a_ji≥0，结点的度v_i被定义为：并且D＝diag(d₁，…，d_n)，相应的对称归一化图拉普拉斯矩阵可以定义为：

步骤2：对称归一化图拉普拉斯矩阵进行特征值分解为L_s＝UΛU^-1，相应的特征值按照递增序列表示为：Λ＝diag(λ₁，…，λ_n)，对应的正交特征向量集为U＝[u₁，…，u_n]，L_s的正交特征向量集被认为是图的傅里叶基，λ_i，i＝1，2，，...，n为相应频率，让f：成为图结点上的实值函数，一个图信号f＝[f(v₁)，f(v₂)，...，f(v_n)]^T就可以表示为如下所示的特征向量的线性组合：

其中，c＝[c₁，c₂，...，c_n]^T是系数向量；

由于已知c_i，其绝对值表示出现在图信号f中的傅里叶基u_i的强度，采取以下方法测量f的平滑度：

其中f_i表示矩阵f的第i行，d_i表示矩阵D的第i行i列的元素；这表明对应于较小的λ_i的傅里叶基更平滑，因此，一个平滑的信号f应该包含更多的低频傅里叶基；

步骤3：由于平滑信号包含更多的低频傅里叶基，换句话说，信号值应在连接的相邻节点之间逐渐变化，这可以通过一个低通图滤波器G来实现，假设h(λ_i)是一个低通频率响应函数，滤波后的信号f可以写成

其中，H(Λ)＝diag(h(λ₁)，h(λ₂)，...，h(λ_n))；

为了保护低通信号并且移除高频信号，h(λ_i)应该对于λ_i较小的值取较大的值，对于λ_i较大的值取较小的值，由于对称归一化图拉普拉斯矩阵的特征值落在[0，2]之内，设置低通响应函数其中非负整数k是用来捕捉k邻接关系的，k为预先设定的图滤波的阶数，所以滤波后的信号f可以写成下面的形式：

进一步将X每一列作为一个图信号，然后我们的平滑表示可以表达为下面的形式：

通过上述操作，事实上是由通过迭代聚合其k个邻居的特征得到的，其中表示中的一个数据样本，因此一个k阶的图滤波考虑了数据的长距离的数据联系，有助于捕捉数据的全局结构；

步骤4：为了能够学习到最佳的亲和矩阵，采用将子空间聚类和图滤波结合的方法，具体表达式如下：

其中S是亲和矩阵，A是邻接矩阵的多项式，f(A)＝A+A²+A³+…+A^P，α和P是预设的模型参数；可以看到，在目标优化式里面，亲和矩阵S既挖掘了平滑的图信号信息X，又用到了图的结构信息f(A)；而为了求解目标表达式，设上述式子的一阶导数为0，从而得到

为了优化时间复杂度，使用了Woodbury矩阵恒等式，从而把上述式子改写成了

这样做，就把计算的时间复杂度从O(n³)降到了O(dn²)，其中n＞d；

步骤5：将S对称化得到C

然后将C作为谱聚类的输入，得到最终的聚类结果。