[发明专利]基于SBL-ADMM的稀疏孔径ISAR成像方法

权利要求书

1.一种基于SBL-ADMM的稀疏孔径ISAR成像方法，在该方法中，基于如下定义，对任意矩阵A，A_i·、A_·j与A_i,j分别表示A的第i行、第j列与第(i,j)个元素，其特征在于，该方法包括以下步骤：

S1稀疏孔径雷达回波建模：

宽带雷达可实现目标距离向高分辨，雷达回波经过脉冲压缩后可获取目标HRRP，如下式所示：

其中表示目标HRRP，t_m分别表示快时间与慢时间，j、f_c、C分别为虚数单位、雷达发射信号载频与电磁波传播速度，目标包含P个散射点，σ_p与R_p(t_m)分别表示第p个散射点的后向散射系数与瞬时雷达距离，其中R_p(t_m)可进一步分解为平动分量与转动分量：

其中ω与(x_p,y_p)分别表示目标平动分量、目标转动分量、目标转速以及第p个散射点在目标本体坐标系中的坐标；进一步将式(2)代入式(1)可得：

其中相位项-j4πf_c/C·x_pωt_m为多普勒频率项，为ISAR图像提供横向分辨，为目标平动引入的初相误差，可通过ISAR自聚焦对其进行补偿；假设ISAR自聚焦已经完成，则自聚焦后的目标HRRP的离散形式可表示为：

其中，h(m,n)表示目标离散HRRP，n、m分别为快时间与慢时间序号：n＝1,2，…,N、m＝1,2，…,M，N、M分别为快时间与慢时间总数，P_r表示雷达发射信号脉冲重复频率；

在稀疏孔径条件下，雷达回波中部分脉冲丢失，假设此时雷达回波包含L个脉冲，L＜M，且各脉冲序号组合形成的向量为V，则有由式(4)可得，稀疏孔径目标离散HRRP可表示为：

H＝FX+N_n (5)

其中以及分别表示目标离散HRRP矩阵、部分傅里叶矩阵、目标ISAR图像矩阵以及噪声矩阵；部分傅里叶矩阵F可进一步表示为：其中W_M＝exp(-j2π/M)，1＝[1,…,1]^T，m＝[1,…,M]^T；

S2目标HRRP与ISAR图像统计建模：

假设式(5)中噪声N_n为复高斯白噪声，则目标离散HRRP矩阵H的似然函数服从复高斯分布：

其中β表示噪声方差的倒数，表示复高斯分布，I_M表示M×M的单位矩阵，||·||_F表示矩阵的F-范数；进一步假设噪声方差倒数β服从伽马分布：

其中表示伽马分布，a、b分别表示伽马分布的形状和尺度因子，Γ(a)为伽马函数：

在式(5)中，目标ISAR图像矩阵X一般由数个离散的散射点组成，具有较强稀疏性，因此可采用高斯分层稀疏先验对其进行建模：

首先假设X的各个元素分别服从均值为零的复高斯分布：

其中γ表示目标ISAR图像矩阵X先验的方差倒数矩阵；

在高斯分层模型中，进一步假设方差倒数矩阵γ服从伽马分布：

其中c、d分别表示伽马分布的形状和尺度因子；

S3基于SBL-ADMM的稀疏孔径ISAR图像重构：

稀疏孔径ISAR图像重构的过程本质上是通过贝叶斯公式计算ISAR图像矩阵X、噪声方差倒数β以及方差倒数矩阵γ的后验概率的过程，可分别通过变分贝叶斯方法求得，如下式所示：

其中q(X)、q(β)与q(γ)分别表示X、β与γ的后验概率，p(H,X,β,γ)表示目标HRRP矩阵H与X、β、γ的联合概率密度，·_q(·)q(·)表示基于概率密度q(·)q(·)对尖括号内表达式求期望，const表示与等式左侧自变量无关的常量；具体步骤如下：

S3.1计算目标ISAR图像矩阵X的后验概率q(X)：

传统SBL方法直接通过式(10)计算目标ISAR图像矩阵X的后验概率，其仍然服从复高斯分布：

其中q_SBL(X)表示传统SBL方法所得目标ISAR图像矩阵X的后验概率，μ^SBL和分别表示传统SBL方法所得q_SBL(X)的期望矩阵和第n个距离单元的协方差矩阵，分别计算如下：

其中β表示噪声方差倒数β的期望，Λ_n＝diag{γ_·n}，diag{·}表示对角线矩阵，其对角线元素由括号内向量构成；由式(13)可知，协方差矩阵的计算涉及矩阵求逆，计算复杂度高，无法满足ISAR实时成像的要求；由于式(11)所示复高斯分布具有对称性，其期望矩阵μ^SBL与最大后验概率估计结果一致：

其中，p(X|H,γ,β)表示目标ISAR图像矩阵X的后验概率；

针对式(13)计算复杂度高的难题，引入辅助变量Z，Z为一个M×N矩阵，将式(14)所示寻优问题转化为：

进一步通过增广拉格朗日方法求解式(15)所示约束寻优问题，如下式所示：

其中L_ρ(X,Z,Y)为增广拉格朗日函数，Y表示拉格朗日乘子，Y为一个M×N矩阵，ρ表示惩戒因子，则式(15)所示约束寻优问题可由下述迭代方程组求解：

其中(·)^(k)表示第k次迭代所更新的变量值；式(17)中前两个方程的解可分别通过使L_ρ(X,Z,Y)关于X与Z的一阶偏导等于零获得，如下两式所示：

X^(k+1)＝(βF^HF+ρI_M)^-1(βF^HH+ρZ^(k)-Y^(k)) (18)

则X与Z的后验概率均服从复高斯分布：

其中q(X)与q(Z)分别表示目标ISAR图像矩阵X与辅助变量Z的后验概率，μ^X与Σ^X分别表示q(X)的期望矩阵和协方差矩阵，μ^Z与分别表示q(Z)的期望矩阵和Z的第n列后验概率的协方差矩阵；由式(18)、(19)可得，μ^X、Σ^X、μ^Z、计算如下：

Σ^X＝(βF^HF+ρI_M)^-1 (23)

S3.2计算噪声方差倒数β的后验概率q(β)：

进一步通过式(10)计算噪声方差倒数β的后验概率q(β)：

将式(14)、式(15)代入ln p(H,X,β,γ)可得：

分别将式(7)、式(9)、式(16)以及式(26)代入式(10)，并忽略与噪声方差倒数β无关的项，可得：

由此可得噪声方差倒数β的后验概率q(β)服从伽马分布：

S3.3计算目标ISAR图像矩阵X先验的方差倒数矩阵γ的后验概率q(γ)：

分别将式(7)、式(9)、式(16)以及式(26)代入式(10)，并忽略与γ无关的项可得：

因此，目标ISAR图像矩阵X先验的方差倒数矩阵γ的后验概率q(γ)服从伽马分布：

S3.4通过循环迭代重构目标ISAR图像矩阵X：

得到未知变量X、Z、β、γ的后验概率后，根据最小均方误差估计可得，这些变量的估计值分别为其后验概率的期望：

Y^(k+1)＝Y^(k)+ρ(X^(k+1)-Z^(k+1)) (33)

其中与分别表示基于后验概率q(X)与q(Z)的期望，计算如下：

其中trace(·)表示求矩阵的迹；

进一步对式(31)中矩阵求逆部分(β^(k)F^HF+ρI_M)^-1进行化简，其中部分傅里叶矩阵可表示为：F＝SF_a，其中S表示大小为L×M的欠采样矩阵，其各元素取值为：F_a表示大小为M×M的完整傅里叶矩阵：其满足F_a^HF_a＝F_aF_a^H＝I_M；则有：

其中D表示大小为M×M的对角阵，其对角元素为：则β^(k)D+ρI_M为对角矩阵，其求逆可通过矩阵元素除法实现；故将式(38)带入式(31)可避免计算X^(k+1)过程中涉及的矩阵求逆运算，有效提升运算效率；

由此，目标ISAR图像X的重构过程即循环迭代式(31)-式(35)直至收敛，最终由式(31)所得X即为重构的ISAR图像矩阵，从而得到重构稀疏孔径ISAR图像。