[发明专利]一种基于拉普拉斯变换的含区间参数结构动力响应边界评估方法

权利要求书

1.一种基于拉普拉斯变换的含区间参数平面四杆桁架结构动力响应边界评估方法，其特征在于，该方法能够对平面四杆桁架进行基于拉普拉斯变换的含区间参数结构动力响应边界评估，实现步骤如下：

第一步：考虑如下结构动力响应问题的有限元控制方程：

其中，M＝M(α)＝(m_ij(α))_n×n、C＝C(α)＝(c_ij(α))_n×n、K＝K(α)＝(k_ij(α))_n×n分别为n×n维结构质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，F(t)＝F(α,t)＝(f_i(α,t))_n为n维结构节点外载荷向量，u(t)＝(u_i(t))_n、分别为n维结构节点位移向量、速度向量、加速度向量，α为m维结构参数向量；

上述结构动力响应问题有限元控制方程的初始条件如下：

u(t₀)＝u₀,

其中，t₀为初始时间，u₀为初始位移，为初始速度；

考虑存在于结构中的不确定性参数向量α，结构质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K均为区间矩阵，外载荷向量F(t)为区间向量，即：

M∈M^I,C∈C^I,K∈K^I,F(t)∈F^I(t)

其中，M^I、C^I和K^I分别为区间质量矩阵、区间阻尼矩阵和区间刚度矩阵，F^I(t)为区间外载荷向量；

因此，含区间参数结构的动力响应集合可以表示为：

第二步：考虑第一步列出的含区间参数结构动力响应集合，由于集合具有较为复杂的范围，直接求解集合通常非常困难，在此，利用包括所有动力响应可能值的最小区间集合表示动力响应集合，区间集合表示如下：

其中，u^I(t)为动力响应的区间集合；

因此，结构区间动力响应方程可以表示为：

第三步：基于第二步建立的结构区间动力响应方程，利用拉普拉斯变换，可以得到：

其中，u_p^I为节点区间位移向量u^I(t)的拉普拉斯变换，F_p^I为区间外载荷向量F^I(t)的拉普拉斯变换；

整理上述方程，可以得到如下方程：

令H^I＝s²M^I+sC^I+K^I,可以得到如下复数区间线性方程组：

H^Iu_p^I＝R^I

其中，H^I和R^I均为复数区间矩阵；

由上述复数区间线性方程组，可以得到如下含不确定性的复数线性方程组：

Hu_p＝R,H∈H^I,u_p∈u_p^I,R∈R^I

其中，H和R为含不确定性的复数矩阵，u_p为含不确定性的复数向量；

第四步：基于第三步建立的复数区间线性方程组，通过引入小参数ε，将含不确定性的复数矩阵H和R分别写为其标称值和摄动值之和的如下形式：

H＝H₀+εΔH,R＝R₀+εΔR

其中，小参数ε是绝对值远小于单位1的实数，H₀和R₀分别是含不确定性的复数矩阵H和R的标称值，εΔH和εΔR分别是H₀和R₀的摄动值，含ε表示其与H和R相比是一个很小的量；

基于摄动理论，将含不确定性的复数向量u_p用如下关于ε的级数表示：

其中，是u_p的标称值，是u_p的各阶摄动值；

将H和R的摄动表达式和u_p的级数表达式分别代入第三步表征的含不确定性的复数线性方程组，可得如下摄动方程：

第五步：基于第四步建立的摄动方程，展开并合并其关于ε的同类项，可以分别得到：

……

由上述方程，可以分别得到u_p的标称值和u_p的各阶摄动值

……

在此基础上，可以得到u_p的下界和上界的如下表达式：

其中，u_p和分别为u_p的下界和上界，Δu_p为u_p的摄动半径；

第六步：基于第五步求得的u_p的下界u_p和上界的表达式，利用拉普拉斯反变换，即可以得到平面四杆桁架结构动力位移响应的下界u(t)和上界表达式；

其中，桁架水平长度和竖直高度均为L＝1m，杆①-③横截面积相等且都等于A₁＝1.0×10^-4m²，杆④横截面积等于A₂＝1.2×10^-4m²，有一正弦激励P(t)＝p^Isin(100πt)N作用于桁架节点4的水平方向，初始条件为x(0)＝0和由于材料和载荷中不确定性的存在，各杆的弹性模量、密度和正弦激励幅值为区间参数，其区间数分别为E^I＝[190×10⁹,210×10⁹]N/m²，ρ^I＝[7410,8190]kg/m³和p^I＝[95,105]N，其中需要评估桁架的节点4水平方向和竖直方向动力位移响应边界。