[发明专利]一种实时求解模型预测控制律的快速梯度算法

权利要求书

1.一种实时求解模型预测控制律的快速梯度算法，其特征在于以下步骤：

第一步，将具有一般输入状态约束的MPC问题转换成标准的二次规划QP问题

1.1)采用公式(1)描述具有一般输入状态约束的MPC问题：

其中，N表示预测时域，表示系统的初始状态；x_k,u_k分别表示MPC问题的状态变量和输入变量；x_N表示系统的最终状态；分别表示状态变量的下界和上界；分别表示输入变量的下界和上界；Q,R分别表示状态变量和输入变量的权重矩阵；P表示系统状态的终端权重矩阵；q,r则表示状态变量和输入变量的权重向量；S则表示状态变量和输入变量的交叉权重矩阵；f表示系统扰动；F,G分别表述状态约束和输入约束的权重矩阵；d则表示状态输入约束向量；T表示终端状态约束的权重矩阵；d_N表终端状态约束向量；

1.2)令通过压缩不等式约束和系统动态方程，将公式(1)转换成公式(2)，得到标准的QP问题；

其中，变量z表示状态变量和输入变量集合；H表示压缩后系统的海森阵；g表示压缩后的权重向量；A_eq表示压缩后系统的等式约束权重矩阵，b_eq表示压缩后等式约束向量；A_ineq表示系统压缩后不等式约束的权重矩阵；b_ineq表示不等式约束向量；

第二步，根据第一步得到的结果，利用增广拉格朗日乘子法松弛不等式约束，得到具有等式约束的Lagrange函数，如下所示：

其中，λ表示对偶优化变量亦称为对偶乘子，ρ表示惩罚参数，并且λ≥0，ρ＞0

第三步，利用对偶原理将公式(3)转换成以下对偶优化问题：

第四步，利用本发明提出的快速梯度算法求解公式(4)所示的对偶优化问题，通过求解对偶变量得到原始问题的最优解；快速梯度算法包括以下子步骤：

(1)初始化y₀＝λ₀，并给定初始值，选择惩罚参数ρ＞0以及令α₀＝1，k＝0；

(2)对于给定当前的对偶优化变量y_k，计算内部优化问题，得到内部优化问题的最优解，即

(3)更新对偶乘子表示迭代步长；

(4)计算参数α，

(5)计算参数β，

(6)根据y_k+1＝λ_k+1+β_k(λ_k+1-λ_k)得到新的y_k+1；

(7)判断是否满足终止规则，若满足则结束循环，得到最优解，否则返回到第二步重新计算；

上述步骤中Z表示可行解的集合，[·]₊表示在非负象限内进行投影。

2.根据权利要求1所述的一种实时求解模型预测控制律的快速梯度算法，其特征在于，所述的第四步步骤(2)中求解内部问题时，对于给定当前的对偶优化变量y_k，内部优化问题V(z,y_k)重写为：

其中，

利用KKT条件求解公式(5)所示的具有等式约束的强凸优化问题，得：

其中，κ为等式约束的乘子；假设KKT矩阵可逆，则定义KKT矩阵的逆为：

此时内部优化问题的解为：

z^*＝-K₁₁g_a+K₁₂b_eq。 (7)

3.根据权利要求1或2所述的一种实时求解模型预测控制律的快速梯度算法，其特征在于，所述的第四步步骤(3)中更新对偶变量λ时，需要计算跌代步长对偶变量λ需要在非负象限内进行投影，将L_d限制为对角矩阵；

通过求解公式(8)所示的SDP问题，得到合适的L_d：

其中，Γ表示对角矩阵的集合，表示为一个对称正定矩阵，在线性时不变情况下可以离线计算；在非线性时变情况下，通过计算L_d的一个上界代替上述问题的解。