[发明专利]一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装置和设计方法

权利要求书

1.一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的设计方法，其特征在于：依托的装置包括输入面、基于变换材料设计的二次折射率透镜和输出面；

所述装置中基于变换材料设计的二次折射率透镜，简称透镜；

输入面是输入信号进入二次折射率透镜的入射面，所述装置是基于变换材料的原则，输入面与传统的GRIN透镜输入面相比，形状发生了拉伸与改变，但输入面的点与传统的GRIN透镜输入面为一一对应的关系；

所述装置中透镜与传统的GRIN透镜相比，改变传统的GRIN透镜中原有的轴向与径向梯度折射率的分布，使透镜的折射率呈类似于环状分布，表现为从输入面到输出面，透镜折射率依次呈环状增大，并在此过程中透镜的环状折射率分布所形成的环形半径逐渐减小；透镜折射率的改变导致了光在透镜中传播路径的改变；

在信号输入到输入面，进入透镜后，在透镜中是一个分数阶傅里叶变换的过程，最终在输出面形成一个阶次为1的输入信号的分数阶傅里叶变换，即为普通的傅里叶变换，在透镜内部则形成了阶次不同的输入信号分数阶傅里叶变换；

所述装置在传统的二次折射率透镜的基础上扩大输入面，保持输出面不变或缩小的共形变换；

所述装置可以通过复变函数的保角变换方法推导出和传统二次折射率透镜的变换关系，再利用变换材料方法获得折射率；

输出面：即频谱面，输入光学信号经过二次折射率透镜之后，出射波为输入波的一个傅里叶变换信号；

所述基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的设计方法，通过以下步骤实现：

步骤1：在二维平面下，以传统的GRIN透镜为基础，保证透镜输出面和透镜的厚度不变，弯曲透镜；

其中，透镜的高度所指方向z方向，且步骤1假设z方向是无限延伸的；步骤1中的透镜弯曲角度为γ，γ弯曲程度可为0度到360度；

步骤1中透镜在二维平面主伸长表示为公式(1)：

其中，h为透镜的厚度，θ和r为步骤1透镜弯曲后透镜中的点的极坐标，分别为传统的GRIN透镜在步骤1弯曲后在极坐标下θ和r的主伸长；

步骤2：透镜在步骤1的基础上，沿透镜中心在极坐标θ及r的方向拉伸，拉伸至透镜中的各点各向同性；

其中，经过步骤2后透镜在二维平面的主伸长表示为公式(2)：

其中，二维平面是r和θ组成的二维平面；θ′和r′为步骤2拉伸后透镜中的点的极坐标，分别为经过步骤1弯曲的透镜在步骤2拉伸后在二维平面θ及r方向的主伸长，表示θ′对θ求偏导，表示r′对r求偏导；

其中，步骤2要拉伸至各点各向同性，r方向的主伸长要满足公式(3)：

由于步骤1弯曲和步骤2拉伸过程中始终保持透镜输出面不变，则GRIN透镜和经过步骤1和步骤2后的透镜的变换关系满足公式(4)和(5)：

其中，R₁为输出面所在圆弧的半径，f(r)为步骤1弯曲和步骤2拉伸后透镜中的各点与传统的GRIN透镜中各点的函数关系，exp[]为指数函数，f^-1(r')为f(r)函数的逆函数，ln为以e为底的对数；表示以e为底，对取对数；公式(4)体现了所述装置中输入面与传统的GRIN透镜输入面上的点是一一对应的对应关系；

步骤3：通过变换材料的方法，基于步骤2计算出拉伸后透镜的介电常数和磁导率；

其中，变换材料的方法中材料介电常数和磁导率变化前后关系为公式(6)和公式(7)：

其中，ε′和μ′为变换后材料的介电常数和磁导率，ε₀和μ₀为变换前材料的介电常数和磁导率，λ₁,λ₂,λ₃为三维坐标系下的主伸长；

由于步骤1中假设z方向上无限延伸，即假设在z方向没有任何变形，则在z方向上的主伸长λ_z＝1，通过公式(6)和(7)得出经过步骤1弯曲和步骤2拉伸后透镜的介电常数、磁导率和折射率的关系，即公式(8)：

其中，公式(8)中的ε₀、μ₀以及n₀为变换前透镜的介电常数、磁导率和折射率，ε_r′、ε_θ′以及ε_z′分别为变换后透镜的r，θ和z方向的介电常数，μ′_r,μ′_θ以及μ′_z分别变换后透镜的为r，θ和z方向的磁导率，n′_r,n′_θ为变换后透镜的r，θ方向的折射率。