[发明专利]基于球头铣刀与工件接触区域的颤振稳定域叶瓣图建模方法

权利要求书

1.基于球头铣刀与工件接触区域的颤振稳定域叶瓣图建模方法，其特征在于以下步骤：

步骤1，建立球头铣刀-工件动力学方程

将球头铣刀刀具-工件系统简化为二自由度系统，考虑进给方向x和法向y方向的刀具振动因素，建立动力学方程：

其中，m_tx为刀具系统x方向的模态质量，m_ty为刀具系统x方向的模态质量；ξ_x为刀具系统x方向的阻尼系数，ξ_y为刀具系统y方向的阻尼系数；ω_nx刀具系统x方向的固有频率，ω_ny刀具系统y方向的固有频率；F_tx(t)和F_ty(t)分别为作用在铣刀刀齿上的动态切削力在x，y方向上的分量；

步骤2，求解球头铣刀刀齿上的动态切削力F_tx(t)和F_ty(t)

2.1)建立球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元的几何模型，表示如下：

其中，R为球头铣刀半径；β切削刃螺旋角；t为切削过程中的时间(s)；k为第j刀刃上第i个切削微元的轴向接触角，在一个切削刃所能取值范围为[0，π/2]；ψ_ji(k)为切削刃微元径向滞后角；φ₁₀(t)为第一个切削刃端点处转动的角度，n为刀具转速(r/min)；φ_ji(t)为第j刃上的第i个微元处瞬时径向接触角；N_f为切削刃数目；x_ji(t)，y_ji(t)，z_ji(t)表示球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元在所建立的坐标系下的坐标值，第j刀刃上第i个切削微元t时刻在坐标系下所对应的x_ji(t)，y_ji(t)，z_ji(t)值与其在该时刻所对应的轴向角k存在一一映射关系；

2.2)计算球头铣刀瞬时动态切削力

球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元轴向角为k，该微元所受的切向力dF_t,ji(φ_ji(t),k)、径向力dF_r,ji(φ_ji(t),k)、轴向力dF_a,ji(φ_ji(t),k)依次表示为：

其中，h(φ_ji(t),k)为第j刀刃上第i个切削微元瞬时切削厚度，包含静态瞬时切削厚度和动态瞬时切削厚度；K_tc为切向力系数；K_rc为径向力系数；K_ac为轴向力系数；db＝R·dk，R为球头铣刀半径；

2.2.1)根据公式(2.4)计算球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元的瞬时动态切削厚度；所述的球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元的轴向角为k；

其中，x(t)-x(t-T)，y(t)-y(t-T)表示当前时刻t和前一个刀齿切削(t-T)时刻在x和y方向的动态振动矢量，T为时滞量，在高速切削的条件下，在单齿切削周期内是将铣刀运动视为圆弧切削、时滞周期视为单齿切削周期，则时滞量N_f为铣刀刀齿数，n为刀具转速(r/min)；

2.2.2)计算刀具瞬时动态切削力

球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元动态切削力如下：

通过坐标变换，获得第j刀刃上第i个切削微元x，y方向动态切削力：

表示为如下：

其中，a_xx,ji(t)、a_xy,ji(t)、a_yx,ji(t)、a_yy,ji(t)由如下公式(2.8)计算：

确定每个参与切削的切削刃在t时刻的最小轴向角和最大轴向角，通过公式(2.9)得到球头铣刀上的瞬时动态切削力；

其中：

则步骤1中所建立的球头铣刀刀具-工件动力学方程如公式(2.11)表示：

进一步转化为公式(2.12)：

步骤3，根据球头铣刀与工件的接触区域边界方程半解析建模法，得到球头铣刀与工件的接触区域；

3.1)确定球头铣刀与工件的接触区域边界的组成

铣刀球头半径为R，球头铣刀在三轴数控机床上进行平面铣削，轴向切削深度为L_jg，相邻切削刀轨间距为L_xl；

球头铣刀与工件切触区域边界由1-3号线组成，1号线为铣刀球头与工件加工表面的交线，2号线为铣刀球头与工件过渡表面的交线，3号线为铣刀球头与前一次走刀在工件的加工痕迹的交线；另外4号线为前一次走刀在工件加工表面留下的加工痕迹，5号线为本次走刀与前一次走刀在工件已加工表面留下的加工残余最高点组成的直线；

以球头铣刀的顶点为坐标系原点，建立刀位点的三维直角坐标系；球头铣刀在轴线为Z轴，Z轴正方向远离球头铣刀的顶点；铣刀的进给方向为X轴，正方向与刀具进给方向相同；Y轴正方向指向工件待加工表面；则在X-Y坐标系下，铣刀球头的方程为x²+y²+(z-R)²＝R²；

3.2)1号线在X-Y坐标平面内投影为该方程x²+y²＝R²-(R-L_jg)²的一部分；

3.3)2号线在X-Y坐标平面内投影为该方程为x＝0的一部分；

3.4)3号线在X-Y坐标平面内投影方程为六次多项式方程的一部分；

1-3号线在X-Y平面的投影共同围成的区域就是在轴向切削深度为L_jg时球头铣刀与工件的接触区域在X-Y平面的投影；

步骤4，全离散化处理球头铣刀刀具-工件动力学方程

4.1)获取球头铣刀刀具-工件动力学方程空间状态形式

将公式(2.12)所示的球头铣刀刀具-工件动力学方程表示为如下所示的空间状态方程：

其中，

t为时间变化；T为时滞量，在高速切削的条件下，在单齿切削周期内是将铣刀运动视为圆弧切削、时滞周期视为单齿切削周期，则时滞量N_f为铣刀刀齿数，n为刀具转速(r/min)；ξ_x为刀具系统x方向的阻尼系数，ξ_y为刀具系统y方向的阻尼系数；ω_nx刀具系统x方向的固有频率，ω_ny刀具系统y方向的固有频率；a_xx(t)，a_xy(t)，a_yx(t)，a_yy(t)如公式(2.10)所示；

4.2)对空间状态方程进行全离散化处理

将时滞周期T(N_f为铣刀刀齿数，n为刀具转速，单位为r/min)等分为m个时间间隔，即T＝mτ，在第p个离散时间间隔[t_p,t_p+1]内，将表示为将u(t_p)表示将u(t_p-T)表示为

则表示为：

进一步简化为：

由于为可逆矩阵，则公式(4.4)表示为如下形式：

令

则公式(4.5)表示为：

u_p+1＝M_pu_p+N_pu_p-m+N_pu_p-m+1 (4.5)

其中，

步骤5，根据球头铣刀切削刃与接触区域边界在X-Y平面投影方程上的交点，确定t_p时刻的a_xx,p，a_xy,p，a_yx,p，a_yy,p值；

在t_p时刻，按照公式(2.1)将球头铣刀全部切削刃投影到步骤3中所建立的X-Y坐标系下，其中n为刀具转速r/min，j从1到N_f，k从0到π/2；

若第j条切削刃在t_p时刻和刀具-工件接触区域边界在X-Y坐标系下的投影区域不存在交集，说明该切削刃此刻没有参与切削，则该切削刃在t_p时刻所对应的k_max,j和下限k_min,j值都为零；

若第j条切削刃在t_p时刻与刀具-工件接触区域边界在X-Y坐标系下的投影区域存在交集，说明该切削刃此刻参与了切削，下面就要确定该切削刃在t_p时刻具体参与切削的片段数目和每个参与切削的片段所对应的k_max,j和k_min,j值；

在X-Y坐标系下，第j条切削刃在t_p时刻的投影被接触区域投影截断，处于接触区域投影内的切削刃片段的数目就是该时刻第j条切削刃参与切削片段的个数；

通过第j条切削刃在t_p时刻在X-Y坐标系下的投影方程、刀具-工件接触区域边界在X-Y坐标系下的投影方程和公式(2.1)计算出各个参与切削的片段的最大轴向角和最小轴向角，其中最大轴向角即为在t_p时刻该切削片段在公式(4.5)中所对应上限值k_max,j，最小轴向角即为在t_p时刻该切削片段在公式(4.5)中所对应的下限值k_min,j；

获得第j条切削刃各个参与切削片段的k_min,j和k_max,j值之后，通过公式(4.5)计算出在t_p时刻第j条切削刃在a_xx,p，a_xy,p，a_yx,p，a_yy,p中所对应部分的值；

通过以上步骤，获得各个切削刃在t_p时刻第j条切削刃在a_xx,p，a_xy,p，a_yx,p，a_yy,p中所对应部分的值，经过公式(4.5)便能计算出t_p时刻的a_xx,p，a_xy,p，a_yx,p，a_yy,p；

步骤6，判断刀具转速为n，轴向切削深度为L_jg时的刀具-工件系统稳定性

在步骤5的基础上，建立系数矩阵C_p，该矩阵满足离散映射：v_p+1＝C_pv_p；

v_p是个(2m+4)维的向量：

矩阵C_p为(2m+4)维矩阵：

其中，令矩阵

矩阵PK等于公式(4.5)中的M_p，矩阵RK等于式公式(4.5)中的N_p；

通过使用一系列离散C_p(p＝0,1,2…,m-1)，构建时滞周期T内的过渡矩阵Φ，亦即：

v_p＝Φv₀ (4.6)

式中，Φ定义为：Φ＝C_m-1C_m-2…C₁C₀；

铣削稳定性通过Floquet理论判定，当传递函数Φ所有特征值的模均小于1时，说明在该刀具转速和轴向切深下，系统稳定；当传递函数Φ所有特征值的模的最大值大于1时，说明在该刀具转速和轴向切深下，系统不稳定；传递函数Φ所有特征值的模的最大值等于1，说明在该刀具转速和轴向切深下，该系统处于临界状态；

步骤7，构建叶瓣图

在刀具转速一定的情况下，改变刀具的轴向切深情况，按照上面的步骤，获取该转速下，临界轴向切削深度；改变刀具转速，获取对应的临界轴向切削深度，构建出临界轴向切削深度随刀具转速变化的函数关系，即叶瓣图。

2.根据权利要求1所述的颤振稳定域叶瓣图建模方法，其特征在于，所述的步骤3.4)中3号线投影方程的求解过程具体为：

求解3号线投影方程之前，首先确定4号线和5号线的投影方程；

3.4.1)4号线为前一次走刀在工件加工表面留下的加工痕迹；Y-Z坐标下，获取本次刀位点所建立的铣刀球头截面方程y²+(z-R)²＝R²，将该方程沿Y轴负半轴平移L_xl，该L_xl是切削相邻加工刀轨之间的距离，即可到在Y轴方向与本次刀位点向对应的前一刀轨的铣刀球头截面方程，该方程为(y+L_xl)²+(z-R)²＝R²；将z＝L_jg带入到(y+L_xl)²+(z-R)²＝R²中，即可得到4号线在X-Y坐标系下的投影方程

3.4.2)5号线为本次走刀与前一走刀在工件已加工表面形成的加工残余最高点所组成的直线，Y-Z坐标下，y²+(z-R)²＝R²与(y+L_xl)²+(z-R)²＝R²的交点A点即为5号线在Y-Z平面的投影，A点所对应的Y值为-L_xl/2，所对应的Z值为则5号线在X-Y坐标下投影方程为y＝-L_xl/2；

3.4.3)3号线为铣刀球头与前一次走刀在工件的加工痕迹的交线，3号线上的B点在X-Y平面的投影坐标由1号线与4号线在X-Y坐标系的投影方程联立得到，B点坐标为将B点的坐标中的L_jg用变量k_v替换，单纯从数学角度观察B点的坐标，可知在相邻切削刀轨宽度L_xl一定的情况下B点的坐标值只与变量k_v值有关，k_v的最大取值为L_jg，k_v的最小取值为5号线在Y-Z坐标系投影所对应的Z坐标，即A点所对用的Z值在区间[k_v_max，k_v_min]内改变变量k_v的值便可以得到3号线在X-Y平面的投影坐标的全部值；

在X-Y平面上沿Y轴等间距地在3号线投影上取7个点，获取这7个点所对应的坐标值；3号线在X-Y平面投影所对应的最大Y值为最小Y值为从Y的最大值和最小值中等间距取7值，让后通过方程获取7个Y值所对应的X值，即可得到在X-Y平面上沿Y轴等间距在3号线投影上取7个点，运用牛顿插值法对这7个坐标值插值即获取3号线在X-Y平面投影的六次多项式方程。