[发明专利]基于速度矩守恒原理的最小湿周蜗壳断面的数值求解方法

权利要求书

1.基于速度矩守恒原理的最小湿周蜗壳断面的数值求解方法，轴面上蜗壳断面下部使用两对称直线形成无转折的轴面流线，以一条与两直线相切的圆弧连接于两对称直线之间，避免蜗壳入口脱流的同时，实现断面具有最小湿周和最小摩擦面积，其特征在于，包括以下步骤：

首先确定相关设计常量，在设计工况点，蜗壳中水流的速度矩K₂，在其守恒条件下，应等于叶轮出口速度矩R₂V_u2，即叶轮半径与设计工况下叶轮出口水流绝对速度的圆周分量之乘积，由叶轮基本方程，有：从而叶轮出口速度矩这里H和ω是给定的叶轮在设计点的扬程和叶轮旋转角速度，η_h是在叶轮设计阶段确定的叶轮水力效率，双吸泵叶轮入口存在预旋，考虑这一因素后仍可计算K₂值；

按一般原则确定蜗壳进口宽度b₃，蜗壳基圆半径R₃及蜗壳下部两直线型腰与铅直方向夹角γ，8个断面上γ角取同一值；

根据给定的设计流量Q，确定8个断面应通过的设计流量q_k，对于蜗旋线起于基圆的360°的蜗壳，显然有：

q_k＝QK/8，K＝1,2,3,..，8

在保证速度矩守恒条件下各断面在通过的设计流量q_k时，事实上存在一个临界流量q_cri，除开起始的断面外，其余断面要求的通过的设计流量q_k都将大于q_cri，为此，这些断面都将使用梯形加弓形结构，而小流量断面则应按同样原则使用另一种断面结构；

下面将分别给出两种断面几何参数及q_cri求解方法和过程：

(1)大流量断面几何参数的数值求解

在断面b₃，γ角给定的条件下，确定该断面几何形状的核心步骤就是要确定上部单圆弧圆心O到下部梯形下底BB的距离m，一旦确定了m值，图形的全部相关几何尺寸都能够由m表示，从而绘出此图形；

下面给出断面上一些重要几何参数以m表达的计算式：

上部单圆弧的半径OA长记为R，R＝(b₃/(2tanγ)+m)sinγ

等腰三角形OAA的底边，也即下部等腰梯形AABB的上底AA长记为aa，aa＝2Rcosγ

等腰三角形OAA的高OK长记为h₁，h₁＝Rsinγ

等腰梯形AABB高KN长记为h₂，h₂＝m-h₁

过两切点A、A的水平线把断面分成两部分，设在速度矩守恒条件下通过下部梯形和上部弓形的流量分别为q₁和q₂；

求解一计算断面的核心步骤是确定m值，但在计算过程中又要用到m值本身，因而这一值以逐次逼近方法获取，为此，在处理一断面前假定一m值；

首先计算q₁，在等腰梯形AABB中取一高为dr的水平微矩形，其下底长为b₃+2(r-R₃)tanγ,这里r指微矩形下底到叶轮中心距离，由速度矩守恒原理，下底上与断面正交的绝对速度的圆周分量Vu＝K₂/r，由于微面积上各点速度均可认为等于这一速度，因而这一速度K₂/r与微面积的面积(b₃+2(r-R₃)tanγ)dr之积就是通过微面积的流量，从而：

q1=∫R3R3+h2K2r(b3+2(r-R3)tanγ)dr=K2(2h2tanγ+(b3-2R3tanγ)ln(1+h2/R3)]]>

由前面所例表达式，上式中h₂实际上可由m表达：

h₂＝m-h₁＝m-Rsinγ＝m-(b₃/(2tanγ)+m)sin²γ

通过上部弓形的流量q₂只能获取数值解；

以等距水平的平行线将AA之上的弓形部分划分成n等份，n≥300，得到n个微矩形，它们有相等的高dr,dr＝(R+h₁)/n＝((b₃/(2tanγ)+m)sinγ+(b₃/(2tanγ)+m)sin²γ)/n，从下向上数第i+1个微矩形的下底边到叶轮中心距高为R₃+h₂+idr，i＝0，1，2，…，n-1；由速度矩守恒原则，微矩形下底边上与断面正交的速度的圆周分量Vu为K₂/(R₃+h₂+idr)，弓形圆心O到此微矩形下底的距离，不论下底在O点之上、之下或通过O点，都是|h₁-i.dr|，由勾股定理，下底长为Vu与此微矩形的面积之积，即为通过这一微矩形的流量，将n个微矩形的流量叠加后将得到q₂：

q2=Σi=0n-12K2R2-(h1-idr)2R3+h2+idrdr]]>

令q₁₂＝q₁+q₂，如果q₁₂等于计算断面应通过的设计流量q_k,说明本断面事先假定的m值正确，输出m及R、h₁、h₂的值，结束本断面的计算，转入处理下一断面；

在计算中，严格意义的相等是不可能的，实际上是判定q₁₂是否落入含有q_k的一个任意小的闭区间，如果q₁₂小于该区间的最小值，说明事先假定的m值偏小，应适当增大m值再次计算；如果q₁₂大于该区间的最大值，说明事先假定的m值偏大，应适当减小m值再次计算，直到问题收敛为止；

为了使人工假定的初始m值尽可能接近终值，可这样设定初始m值：假定计算断面是一个宽b₃,高HH的理想矩形，为通过的设计流量q_k,由速度矩守恒原则，HH应满足以下积分方程：

∫R3R3+HHb3K2rdr=qk]]>

从而HH＝R₃(exp(q_k/(b₃K₂))-1)

m取(0.4～0.45)HH时，很快获得最终结果；

临界流量q_cri的数值求解：

上述梯形弓形断面的应用要受到限制，因为这种结构允许的通过的设计流量有一最小值；

当断面退化为仅含一弓形，即形成弓形的单圆弧通过b₃两端点且与假想的方向不变的两直线腰相切时，以同一速度矩通过这一特殊断面的流量显然比任何一个含有下部梯形的断面要小一些，这一最小流量称临界流量q_cri,这一流量也只能以数值求解方法获得；

由简单的几何关系得到，圆弧半径R＝b₃/(2cosγ)，圆弧圆心O到底边AA的垂线OK记为h_cri，h_cri＝(b₃/2)tanγ，断面对称轴WK＝R+h_cri；

以等距的水平平行线将断面划分成n等份，n≥300，得到n个微矩形，它们有相等的高dr，dr＝(R+h_cri)/n，从下向上数第i+1个微矩形的下底到叶轮中心距离为R₃+idr，i＝0，1，2，…，n-1；由速度矩守恒原则，微矩形下底边上与断面正交的速度的圆周分量Vu为K₂/(R₃+idr)，圆心O到此微矩形下底的距离，不论O点与下底相对位置关系如何，都是|h_cri-idr|，由勾股定理，下底长为2Vu与此微矩形的面积之积，即为通过这一微矩形的流量，将n个微矩形流量叠加后将得到q_cri：

qcri=Στ=0n-12K2R2-(hcri-idr)2R3+idrdr]]>

(2)小流量断面几何参数的数值求解

蜗壳起始断面要求通过的设计流量q_k可能小于临界流量q_cri，这时，用曲边梯形形成这种小流量的断面，断面的两腰为过b₃两端点且与假想的与垂直方向夹角为γ的两射线相切的两圆弧，尽管断面上部分有一水平直线段，但由于以圆弧代替了直线型两腰及过渡圆弧，湿周因此有所减小，同时，在断面入口两圆弧切线夹角和仍为2γ，避免入口处可能的脱流与旋涡；

圆弧的圆心显然应在通过b₃两端点且与底边夹角为γ的射线AO上，如果确定了圆弧半径AO的长R，则可确定断面几何形态，绘形断面；为保证在速度矩守恒条件下通过的设计流量q_k，R也必须以数值方法获取；

首先假定一R值，初始R值取b₃/4，圆弧圆心O到底边距离OK记为hh，两圆圆心OO距离记为oo，断面全高记为HS，它们都用R表示：hh＝Rsinγ，oo＝b₃-2Rcosγ，HS＝R(1+sinγ)；

以等距离的水平平行线将断面划分成n等份，n≥300，得到n个微矩形，它们有相等的高dr，dr＝HS/n，从下向上数第i+1个微矩形的下底到叶轮中心的距离为R₃+idr，i＝0，1，2，…，n-1；由速度矩守恒原则，微矩形下底边上与断面正交的速度的圆周分量为Vu＝K₂/(R₃+idr)，圆弧圆心O到此微矩形下底的距离，不论O点与下底相对位置关系如何，都是|hh-idr|，由勾股定理，下底边长为2Vu与此微矩形的面积之积即为通过这一微矩形的流量，将n个微矩形流量叠加后将得到通过断面总流量q:

q=Στ=0n-1K2(2R2-(hh-idr)2+(b3-2R cosγ))R3+idrdr]]>

将所得q值与本断面事先预定流量q_k比较，如果q落入含有q_k的一个任意小的闭区间，说明事先假定的R值正确，输出R值，转入计算下一个断面；如果q小于该区间的最小值，说明事先假定的R值偏小，应适当增大R值再次计算；如果q大于该区间的最大值，说明事先假定的R值偏大，应适当减小R值再次计算，直到问题收敛为止；

(3)计算蜗壳8个断面

根据已确定的K₂、b₃、R₃、γ值，计算蜗壳临界流量q_cri；

确定8个断面各自应通过的设计流量q_k，k＝1，2，3，…，8，在计算某一断面时，以此断面应通过的设计流量q_k与临界流量q_cri比较，如果q_k＞q_cri，则此断面应使用梯形弓形结构大流量断面几何参数的数值求解，反之，使用曲腰梯形断面小流量断面几何参数的数值求解；上式中k＝1，2，3，……,8，将用于计算蜗壳第1,第2，第3，……,第8断面应通过的设计流量q_k。