[发明专利]基于功率转移分布因子的电网简化方法

权利要求书

1.一种基于功率转移分布因子的方法，其特征是，它包括以下步骤：

1)功率转移分布因子的结构特性描述

L×N维功率转移分布因子矩阵H将有功潮流与有功注入相联系，有功注入是最优潮流的控制变量，在直流潮流模式下，有功注入和有功潮流与电压相角θ的线性关系为：

P_inj＝B_busθ                                                 (1)

P_flow＝B_branchCθ

其中，B_bus是非满秩矩阵，通过选择参考母线后，由(1)式求解得到,

构造置换矩阵P_ref来改变P_inj的结构，使参考母线的有功注入和非参考母线的有功注入分为位于矩阵的顶部和底部，利用(1)式中的第一个方程，将非参考母线的电压相角与参考母线电压相角和非参考母线有功注入相关联，则有：

PrefPinj=PinjrefPinjnon-ref=PrefBbusPrefTPrefθ=PrefBbusPrefTθinjrefθinjnon-ref⇒Pinjnon-ref=0IN-1PrefPinj=0IN-1×PBP111×1PBP121×(N-1)PBP21(N-1)×1PBP22(N-1)×(N-1)×θinjrefθinjnon-ref=PBP21θinjref+PBP22θinjnon-ref⇒θinjnon-ref=[PBP22]-1(Pinjnon-ref-PBP21θinjref)---(2)]]>

其中，PBP=PrefBbusPrefT,PrefTPref=IN,]]>

类似地，有功潮流表示为：

Pflow=Bbranchθ=BbranchPrefTPrefθ=BbranchPrefTθinjrefθinjnon-ref=BPbranchrefBPbranchnon-refθinjrefθinjnon-ref=BPbranchrefθinjref+BPbranchnon-refθinjnon-ref=BPbranchrefθinjref+BPbranchnon-ref[PBP22]-1×(Pinjnon-ref-PBP21θinjref)=BPbranchnon-ref[PBP22]-1Pinjnon-ref+BPθinjref---(3)]]>

其中，BPbranch=BbranchPrefT,BP=BPbranchref-BPbranchnon-ref[PBP22]-1PBP21,]]>

通过设置参考母线的相角为0，由(3)式得到有功潮流与注入之间的线性关系：

Pflow=BPbranchnon-ref[PBP22]-1Pinjnon-ref⇒Pflow=H′Pinjnon-ref=0H′PinjrefPinjnon-ref=HPinj---(4)]]>

BP及PBP矩阵通过支路-节点关联矩阵C和电抗x很容易地推导得到：

BP′_branch＝diag(1/x)C′                                     (5)

PBP₂₂＝C^′Tdiag(1/x)C′

其中，C′为C消去参考母线所在列后的矩阵，

因此，H′可以由C′和x表示为：

H′=[diag(1/x)C′]{C′Tdiag(1/x)C′}-1⇒H′C′Tdiag(1/x)C′=diag(1/x)C′---(6)]]>

因为矩阵H′和C′的秩均为N-1，其乘积H′C^′T的秩也必为N-1，因此，矩阵H′C^′T中存在L-(N-1)个0特征值，其相应的特征向量张成了H′C^′T的零空间，方程式(6)隐含了矩阵H′C^′T的N-1个特征值为单位1，其相应的特征向量为diag(1/x)C′的列向量，因此，diag(1/x)C′张成了H′C^′T的实空间，因此，H′C^′T特征值分解产生：特征值0，其对应的特征向量张成了H′C^′T的零空间；特征值1，其对应的特征向量张成了H′C^′T的实空间，

为了从功率转移分布因子矩阵中计算出x，需要对H′C^′T进行特征分解，选择特征值为1所对应的多个特征向量并定义此特征向量集为V′，因为其特征值均为单位1，所以其对应的特征向量不唯一，因此，直接从功率转移分布因子矩阵中计算x很困难，的确，这些特征向量任意的线性组合都能张成H′C^′T的实空间，

假设单位向量e存在于空间V′中，因为V′张成的空间与H′C^′T相同，因此H′C^′T与单位向量e的乘积产生单位向量本身，假设将单位向量e增至V′中，设此矩阵为V，则V′与V的秩相同，即e可由V′中的列向量线性表示，将此部分列向量可由e所替代，此时矩阵称为V″，注意V″比V′更加稀疏，在电力系统中这种性质的物理解释为：环形网络中添加部分线性网络对功率转移分布因子矩阵不会产生影响，

V矩阵的QR分解产生的实空间和零空间由该矩阵所张成：

VL×(N-1+ne)=QR=Q1L×(N-1)Q2L×(L-N+1)R1(N-1)×(N-1+ne)0---(7)]]>

其中，ne表示诸如e此类单位向量的个数，

因为这些单位向量是V中其它列向量的线性组合，所以R₁中前N-1个列向量与V′的QR分解中R相同，

注意到V矩阵的QR分解产生的矩阵Q₂比V′产生的更加稀疏，因此，使用V的计算效率比V′更高，由于V的零空间与diag(1/x)C′相同，且垂直于V的实空间，则有：

Q2Tdiag(1/x)C′=0]]>

或者

Q2Tdiag(1/x)cj=0---(8)]]>

其中，C′＝[c₁ c₂ … c_N-1]，

由简单的代数学知识有：

Q2Tdiag(1/x)cj=0↔Q2Tdiag(cj)(1/x)=0⇒Ω(1/x)L×1=0---(9)]]>

其中，Ω=Q2Tdiag(c1)Q2Tdiag(c2)...Q2Tdiag(cN-1)[(L-N+1)L]×L]]>

方程中存在一个平凡解，即1/x＝0；然而期望得到的是方程式(9)的一个非平凡解，由于在求H′值时x的统一增长受到了式(6)的抵消，因此存在x的无穷多解集满足方程式(9)，将方程式(9)修改如下：

minx|Ω(1/x)|ks.t.|1x|k≥M(>0)---(10)]]>

其中，M表示一个很小的正数，是向量1/x的k范数下界，

为了便于计算，优化使用2-范数，采用拉格朗日形式：

L＝y^TΩ^TΩy+λ(M-y^Ty)                           (11)

其中，y＝[y_i],y_i＝1/x_i。

最优解的求解条件为：

∂L∂y=2ΩTΩy-2λy=0⇒(ΩTΩ)y=λy---(12)]]>

M的单位变化对H不会产生影响，但对|Ωy|会产生λ的变化影响，因此对于一个给定的M，λ处于较小的值时，|Ωy|能够实现最小化，则有，y是Ω^TΩ所有特征值中绝对值最小的所对应的特征向量，

对于一个给定的x值，利用方程式(6)，H(x)即可计算得到，其相对误差计算如下：

error=||H-H(x)||2||H||2---(13)]]>

误差一般位于10^-11数值误差范围之内；

2)简化功率转移分布因子矩阵H_r描述

一种理想的用于有功潮流研究的简化功率转移分布因子矩阵就是寻找简化潮流与简化有功注入之间的灵敏度矩阵，为了定义简化潮流和注入，首先需要定义用于母线聚合的母线类，设注入分类为(G₁,G₂,…,G_n)，其有功注入为P_Gi(i＝1,2,…n)；设类内潮流向量为类间潮流向量为则有：

Pflow=PfTPfPflow=PfTPflowintPflowext]]>

Pinj=PgTPgPinj=PgTPG1...PGn=PgTPinjection---(14)]]>

其中，P_f表示按类内-类间支路潮流排序的置换矩阵，P_g表示按注入分类排序的置换矩阵，P_injection表示根据分类顺序排列的有功注入向量，

则简化潮流及有功注入式(15)，其中，P_sign为L×L维对角矩阵，当潮流方向与类间潮流一致时元素为1，否则为-1；

f=[Σk∈Gil∈GjPflowk→l]=Θflowl×Le0Le×LiILe×LePsignL×LPflowintPflowextL×1=Θflowl×Le0Le×LiILe×LePsignL×LPfL×LPflowL×1]]>

g=[gGi]=[Σk∈GiPinjk]=ΘinjectionPinjection=ΘinjectionPgPinj---(15)]]>

其中，

根据定义，简化功率转移分布因子矩阵H_r为简化系统潮流与注入之间的灵敏度矩阵，因此：

f＝Θ_flow[0 I]P_signP_fP_flow＝Θ_flow[0 I]P_signP_fHP_inj＝H_rg＝H_rΘ_injectionP_gP_inj      (16)

对于任意有功注入P_inj，为了得到满足方程式(16)的H_r有：

Θ_flow[0 I]P_signP_fH＝H_rΘ_injectionP_g                   (17)

方程(17)是一个超定方程，因此其求解是误差最小化的过程，H_r的解为：

Hrl×n=Θflowl×LeHRLe×NΘinjectionTWinjectionn×n]]>

其中，HR=0Le×LiILe×LePsignL×LPfL×LHL×N(PgN×N)T]]>

则有H_R是原网功率转移分布因子矩阵根据潮流和注入分类后调整其行与列的顺序得到，其类内支路的所有潮流已被消除，

网络简化一旦完成，则输电网的拓扑结构就得到了确定，给定其拓扑结构，则简化网络的节点-支路关联矩阵C_r能够得到：

Crl×n=Wflowl×lΘflowl×LeCRΘinjectionT]]>

其中，CR=0Le×LiILePsignL×LPfL×LCL×NPgT]]>

对于一个庞大的电力系统，L和N的数值甚大，则有，H′的计算涉及式(6)的求逆运算：

H′=[diag(1/x)C′]{C′Tdiag(1/x)C′}-1IN-1⇒hk=H′ek=[diag(1/x)C′]{C′Tdiag(1/x)C′}-1ek---(20)]]>

通过执行内矩阵的LU分解及最小度排序并保存L、U、P矩阵，H′矩阵的每一列h_k能够计算出来，然后，通过忽略所有类内潮流，H_R矩阵的所有列也能够求出，H_R得到后，Θ_flow与之相乘，乘积是得到同一类内潮流的总和，由于每一类是先验给出的，乘积等价于更新H_r适当的列，能够求出简化的功率转移分布因子矩阵；

3)H_r的性质描述

通过将简化的H_r和C_r进行变换以消除松弛母线所对应的列：

CT=CrPT00...00..I.0⇒CT′=CrPT0...0I]]>

HT=[HrPT-HrPTe11...1]00...00..I.0=HrPT0-1...-10..I.0⇒HT′=HrPT-1...-1I---(21)]]>

有功平衡方程隐含：C^′T与潮流的乘积等于有功注入，因此，H′C^′T与潮流的乘积结果应当是潮流本身，将式(6)两边同时左乘C^′T，得出C^′TH′为一单位阵，因此H′C^′T与潮流的乘积等于潮流，C^′TH′与g的乘积为g，适用于简化的C和H，有功平衡方程对于任意的注入g表示为：

-1Tgg=PTTCrTf=PTTCrTHrPT-1Tgg⇒PTTCrTHrPT=0-1...-10..I.0---(22)]]>

有功注入g与松弛母线处的有功相互平衡，由方程式(21)和式(22)得到：

CT′THT′=0..I.0PTTCrTHrPT-1...-1I=0..I.00-1...-10..I.0-1...-1I=I---(23)]]>

为了证实简化的功率转移分布因子矩阵与未简化矩阵具有相同的特征值/特征向量性质，表示为：

HT′CT′T=HrPT-1...-1I0..I.0PTTCrT=HrPTPTTCrT=HrCrT=Θflow0IPsignPfH′×{PgTΘinjectionTWinjectionΘinjectionPg}×C′TPfTPsignT0IΘflowTWflow---(24)]]>

式(24)表示了原电网有功注入P_injection的数量，简化电网的潮流f，产生的潮流结果存在于由可行的潮流空间所张成的空间中，且所得潮流结果满足节点功率平衡方程，因此，存在特征值为单位1的特征值-特征向量对，的秩均为n-1，则的秩也为n-1，因此，也存在特征值为单位1的n-1个特征向量，而式(24)中矩阵仅表示特征值与特征向量的线性组合，因此的特征值/特征向量的属性得以保留，

由于矩阵的维数均是l×(n-1)，矩阵的维数是l×l，因此的特征值分解得到了(l-n+1)个零特征值，如：

HT′CT′T=VWdiag(λ)000VW-1---(25)]]>

V和W分别张成了的实、零空间。对W进行QR分解：

W=QWRQWNRW0]]>

且

QWRTQWR=IHT′CT′TQWR=0QWRTHT′CT′T=0---(26)]]>

则有Q_WR张成了的零空间，H′_T及均为非零阵，则由式(23)和式(26)可得：

HT′CT′T=HT′QWRI000CT′TQWRT⇒HT′CT′THT′QWR=HT′QWRI000CT′TQWRTHT′QWR=HT′QWRI000ICT′TQWRQWRTHT′I=HT′QWRICT′TQWR00=HT′HT′CT′TQWR=HT′0=HT′QWRI000---(27)]]>

具有特征值为1或者0的特征向量-特征值对，因为非0的特征值为单位1，所以H′_T列向量的任意线性组合均为的特征向量，则有H′_T及的秩均为n-1，因此的秩也应当为n-1，由此也具有n-1个特征向量，其所对应的特征值为单位1，即：

HT′CT′TF=Fl×(n-1)In-1---(28)]]>

其中，F＝[f]，

计算出简化电网各支路的电抗值，得到简化电网的模型及其潮流计算，

式中的符号：B_branch：支路导纳矩阵，B_bus：节点导纳矩阵，C：L×N维支路-节点关联矩阵，F_k：第k个潮流类，G_k：第k个注入类，H：L×N维功率转移分布因子的矩阵，I_w：w×w维单位阵，L：原始电网支路总数，L_e：原始电网所有分类间的支路总数，L_i：原始电网所有分类内的支路总数，N：原始电网的母线总数，P_f：能够调整潮流向量结构的置换矩阵，P_flow：原始电网L×1维有功潮流，P_g：能够将有功注入按类排序的置换矩阵，P_inj：原始电网中N×1维节点注入向量，P_ref：能够将松弛节点置顶的N×N维置换矩阵，P_T：能够将松弛节点置顶的n×n维置换矩阵，diag(x)：对角矩阵，对角元素为x，e_j：第j单位向量，f：简化电网的有功潮流，g：简化电网的功率有功注入，l：简化电网中支路总数，m_K：集合K中元素的总数，n：简化电网中母线总数，x：L×1维电抗向量，y：L×1维电抗逆向量，θ：N×1维电压相角向量，Θ_flow：l×Le维潮流求和矩阵，Θ_injection：n×N维母线有功注入求和矩阵。