[发明专利]一种基于自适应观测矩阵的贝叶斯压缩感知信号恢复方法

权利要求书

1.一种基于自适应观测矩阵的贝叶斯压缩感知信号恢复方法，其特征是：它由以下步骤实现：

步骤一、利用M×N维的观测矩阵Φ′，通过公式：

y=Φ′f=Φ′Ψw=Φw    （1）

获取N×1维未知信号f的M×1维观测值y；M、N均为正整数，且M＜＜N；Φ为感知矩阵；Ψ为稀疏基；

其中：N×1维的未知信号f表示为：

f=Ψw    （2）

式中：w是一个N×1维的稀疏信号；

对于将观测矩阵Φ′设计成自适应观测矩阵，具体为：

根据式（1），在时域中，由于未知信号f包含了原始信号的信息，则时域观测矩阵为Φ′；

在稀疏域中，由于稀疏信号w也包含了原始信号的信息，则稀疏域观测矩阵为Φ；

对稀疏信号w中的非零系数获取观测值，具体为：

对式（1）进行变形，得到：

y=Φ′w=Φ′Ψ^-1f=Φf    （3）

在稀疏基Ψ是正交的情况下，则式（3）变为：

y=Φ′w=Φ′Ψ^Tf=Φf    （4）

此时，时域的观测矩阵变为Φ，稀疏域的观测矩阵变为Φ′；

稀疏信号w中非零值的个数为M，M为正整数；稀疏信号w中第i个非零值的位置为j，1≤i≤M；1≤j≤N；

则观测矩阵Φ′中元素φ′_i,j=1，其它的元素都设为0，如下所示：

φi,j′=1,wj≠00,wj=0---(5)]]>

由于Φ=Φ′Ψ^T，因此得到Φ中的元素为：

φ_i,k=ψ_j,k   （6）

式中：1≤k≤N；这里得到的Φ′即为式（1）中的Φ，得到的Φ即为式（1）中的Φ′；

步骤二、采用步骤一获得的观测矩阵Φ′通过贝叶斯压缩感知方法对M×1维的观测信号y进行信号恢复，获得恢复后的信号；

具体为：由于信号在传输过程中会产生噪声，因此式（2）的实际情况应为：

y=Φ′f+n    （7）

式中n是均值为0、方差σ²未知的高斯噪声；

根据稀疏变换系数将式（7）改写成如下形式：

y=Φ′Ψw+n=Φw+n     （8）

利用w的稀疏性，原始信号的近似值通过解决下式的最优化问题获得：

w^=argwmin{||y-Φw||22+τ||w||0}---(9)]]>

其中：||w||₀是稀疏信号w的l₀范数；

用l₁范数代替l₀范数，将上式转化为：

w^=argwmin{||y-Φw||22+τ||w||1}---(10)]]>

令w_s代表一个N维向量w中M个最大的值，剩下的N-M个值设为0；向量w_e代表w中最小的N-M个元素，剩下的元素置为0；

由此得到：

w=w_s+w_e    （11）

和

y=Φw=Φw_s+Φw_e=Φw_s+n_e   （12）

式中：n_e=Φw_e；

根据中央极限定理，n_e中的元素由一个均值为0的高斯噪声近似，同时考虑到压缩感知在采样过程中本身包含的噪声n_m，故有：

y=Φw_s+n_e+n_m=Φw_s+n   （13）

观测值y的高斯似然模型为：

p(y|ws,σ2)=(2πσ2)-K/2exp(-12σ2||y-Φws||2)---(14)]]>

通过估计稀疏向量w_s和噪声方差σ²，获得观测值y的恢复信号，完成基于自适应观测矩阵的贝叶斯压缩感知信号恢复。

2.根据要求1所述的一种基于自适应观测矩阵的贝叶斯压缩感知信号恢复方法，其特征在于步骤二中估计稀疏向量w_s和噪声方差σ²的方法为：采用后验概率密度函数的方法实现，具体为：

首先，对稀疏信号w中的每一个元素先验都定义为均值为0的高斯分布：

p(w|α)=Πi=1NN(wi|0,αi-1)---(15)]]>

其中：α_i是高斯概率密度函数的精度；

然后，令α的先验服从Γ分布：

p(α|a,b)=Πi=1NΓ(αi|a,b)---(16)]]>

结合公式（15）和（16），得到w的先验概率密度函数：

p(w|a,b)=Πi=1N∫0∞N(wi|0,αi-1)Γ(αi|a,b)dαi---(17)]]>

其中：Γ(α_i|a,b)dα_i服从Student-t分布；

假设超参数α和α₀已知，给出测量值y和矩阵Φ，那么w的后验概率密度函数解析地表示为多变量的高斯分布，其均值和方差为：

μ=α₀∑Φ^Ty    （18）

∑=(α₀Φ^TΦ+A)^-1    （19）

其中：A=diag(α₁,α₂,…,α_N)；

在相关向量机RVM中，超参数α和α₀通过Type-II型最大似然过程进行估计，这种逼近使用了α和α₀的点估计来求它们边缘似然函数的最大值；

应用最大期望算法，得到：

αinew=γiμi2,i∈{1,2,...,N}---(20)]]>

其中：μ_i是（18）式中计算的第i个均值，其中∑_ii是（19）式计算出的第i个对角元素；

对于噪声方差σ²=1/α₀，微分进行再估计：

1α0new=Δ||y-Φμ||22K-Σiγi---(21)]]>

最后对w和α、α₀交替进行迭代计算，直到最后得到的结果收敛。