[发明专利]一种动力学系统中不确定参数的估计方法

权利要求书

1.一种动力学系统中不确定参数的估计方法，其特征在于，包括下列步骤：

步骤A，预置动力学系统中不确定参数：

找出动力学系统中待估的不确定参数ρ及其参数值的变化范围[ρ_min,ρ_max]，在该区间上按照设定的概率分布或者预定义的规则，取N个不同的设定值ρ_i，i＝1,2,…,N；其中，ρ_min是该不确定参数变化范围的最小值，ρ_max是该不确定参数变化范围的最大值，ρ_i代表不确定参数ρ的第i个设定值，N是自然数；

步骤B，建立系统动力学模型集，其过程如下：

步骤B-1，建立系统的动力学模型，如下式所示：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}\left(t\right)=f(X\left(t\right),t)+F\left(t\right)W\left(t\right)\\ Z\left(t\right)=h(X\left(t\right),t)+V\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，X(t)是n维状态向量，t是时间变量，f(X(t),t)是n维非线性矢量连续函数，F(t)是n×r维系数矩阵，h(X(t),t)是m维非线性矢量连续函数，r,n,m是自然数，W(t),V(t)均为彼此不相关的零均值白噪声；

步骤B-2，将ρ_i代入上式中，得到第i个动力学模型，其解析式为:

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{X}}_i\left(t\right)=f_i(X_i\left(t\right),t)+F_i\left(t\right)W_i\left(t\right)\\ Z_i\left(t\right)=h_i(X_i\left(t\right),t)+V_i\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，X_i(t)是n维状态向量，f_i(X_i(t),t)是n维非线性矢量连续函数，F_i(t)是n×r维系数矩阵，h_i(X_i(t),t)是m维非线性矢量连续函数，W_i(t),V_i(t)均为彼此不相关的零均值白噪声，且满足如下协方差矩阵：

$\left\{\begin{array}{c}E\left(W_i\left(t\right)\right)=0,E\left(W_i\left(t\right){W_i}^T\left(t\right)\right)=Q_i\left(t\right)\mathrm{\δ}(t-\mathrm{\τ})\\ E\left(V_i\left(t\right)\right)=0,E\left(V_i\left(t\right){V_i}^T\left(t\right)\right)=R_i\left(t\right)\mathrm{\δ}(t-\mathrm{\τ})\\ E\left(W_i\left(t\right){V_i}^T\left(t\right)\right)=0,E\left(X_0{W_i}^T\left(\mathrm{\τ}\right)\right)=0,E\left(X_0{V_i}^T\left(\mathrm{\τ}\right)\right)=0\end{array}\right.$

其中，X₀是n维初始状态向量，δ(t-τ)是Dirac-δ函数，τ是时间常数，Q_i(t)为过程噪声方差矩阵是非负定对称矩阵，R_i(t)为测量噪声方差矩阵是对称正定矩阵，Q_i(t)和R_i(t)都对t连续，至此即得到了由N个动力学模型组成的动力学模型集，E(·)为数学期望，(·)^T为矩阵转置；

步骤C，设计扩展卡尔曼滤波器组：

对应于步骤B中的第i个动力学模型，采用扩展卡尔曼滤波方法，得到第i个扩展卡尔曼滤波器的滤波方程组如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{X}}_{i,k+1/k}={\hat{X}}_{i,k/k}+f_i({\hat{X}}_{i,k/k},t_k)T\\ {\hat{X}}_{i,k+1/k+1}={\hat{X}}_{i,k+1/k}+\mathrm{\δ}{\hat{X}}_{i,k+1/k+1}\\ \mathrm{\δ}{\hat{X}}_{i,k+1/k+1}=K_{i,k+1}(Z_{i,k+1}-h_i({\hat{X}}_{i,k+1/k},t_{k+1}\left)\right)\\ K_{i,k+1}=P_{i,k+1/k}{H}_{i,k+1}^T{(H_{i,k+1}{P}_{i,k+1/k}{H}_{i,k+1/k}^T+R_{i,k+1})}^{-1}\\ P_{i,k+1/k}={\mathrm{\Φ}}_{i,k+1/k}{P}_{i,k/k}{\mathrm{\Φ}}_{i,k+1/k}^T+{\mathrm{\Γ}}_{i,k+1/k}{Q}_{i,k}{\mathrm{\Γ}}_{i,k+1/k}^T\\ P_{i,k+1/k+1}=(I-K_{i,k+1}{H}_{i,k+1})P_{i,k+1/k}{(I-K_{i,k+1}{H}_{i,k+1})}^T+K_{i,k+1}{R}_{i,k+1}{K}_{i,k+1}^T\end{array}\right.$

其中，t_k是第k时刻，k是自然数，T是采样周期，I是单位矩阵，是第i个扩展卡尔曼滤波器由u时刻的系统状态得到的v时刻的系统状态估计，P_i,v/u是第i个扩展卡尔曼滤波器由u时刻的系统状态得到的v时刻的系统状态估计的误差方差协方差矩阵，u,v代表第k时刻或第k+1时刻，Φ_i,k+1/k是第i个扩展卡尔曼滤波器由k时刻到k+1时刻的系统状态转移矩阵，Z_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的观测量，K_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的增益，Q_i,k是第i个扩展卡尔曼滤波器在k时刻的系统过程噪声方差矩阵，R_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的测量噪声方差矩阵，Γ_i,k+1/k是第i个扩展卡尔曼滤波器由k时刻到k+1时刻的系统过程噪声系数矩阵，H_i,k+1是第i个扩展卡尔曼滤波器在k+1时刻的灵敏矩阵，

${\mathrm{\Φ}}_{i,k+1/k}=I+\frac{\∂f_i\left(X_i\right(t_k),t_k)}{\∂X_i\left(t_k\right)}T$

Γ_i,k+1/k＝Φ_i,k+1/kF_i(t_k)T

$H_{i,k+1}=\frac{\∂h\left(X_i\right(t_{k+1}),t_{k+1})}{\∂X_i\left(t_{k+1}\right)}{|}_{X_i\left(t_{k+1}\right)={\hat{X}}_{i,k+1/k}}$

$Q_{i,k}=\frac{Q_i\left(t\right)}{T}$

$R_{i,k+1}=\frac{R_i\left(t\right)}{T}$

t_k+1是第k+1时刻；由此就得到了由N个扩展卡尔曼滤波器的组成的滤波器组；

步骤D，利用改进后的假设检验算法计算在t_k+1时刻第i个扩展卡尔曼滤波器所输出的第i组参数估计值的权重系数：

$G\left(i\right|k+1)=\frac{p\left(i\right|k+1)G\left(i\right|k)}{\underset{l=1}{\overset{N}{\Σ}}p\left(l\right|k+1)G\left(l\right|k)}$

其中，G(i|k)是G(i|k+1)前一时刻的值，且G(i|k)的计算初值由步骤A中所选用的预置规则唯一确定，l是自然数；第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻的量测值为Z_k+1的条件概率密度函数p(i|k+1)被改进为：

$p\left(i\right|k+1)=\exp ({-10}^{-5}\exp (\mathrm{\κ}\·\mathrm{\ϵ})\·e_i^T{A}_i^{-1}{e}_i)$

e_i＝Z_i,k+1-h_i(X_i,k+1/k)

$A_i=H_{i,k+1}{P}_{i,k+1/k}{H}_{i,k+1}^T+R_{i,k+1}$

其中，κ为计算步数，ε是指定的一个无量纲常值参数；e_i为残差向量；A_i为方差矩阵；(·)^-1为矩阵求逆，exp(·)为指数函数；

步骤E，计算动力学系统状态参数和不确定参数在t_k+1时刻的估计值；

步骤E-1，计算动力学系统中状态参数在t_k+1时刻的估计值：

${\hat{X}}_{MMAE}\left(t_{k+1}\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\hat{X}}_i\left(t_{k+1}\right)G\left(i\right|k+1)$

步骤E-2，计算动力学系统中不确定参数在t_k+1时刻的估计值：

${\widehat{\mathrm{\ρ}}}_{MMAE}\left(t_{k+1}\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\widehat{\mathrm{\ρ}}}_i\left(t_{k+1}\right)G\left(i\right|k+1)$

其中，是第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻所估计出的动力学系统中状态参数的估计值，是第i个扩展卡尔曼滤波器在t_k+1时刻所估计出的动力学系统中不确定参数的估计值。