[发明专利]一种谐振式加速度计力-频率关系方程建立方法

摘要

本发明公开了一种谐振式加速度计力‑频率关系方程建立方法，包括谐振式加速度计控制方程的建立和谐振式加速度计力‑频率关系方程的建立两个基本步骤。步骤一，针对谐振式加速度计结构的特点，首先建立其力学模型，其次，为了便于得出其所受轴向力在左右两梁的分布情况，对上述模型做简化，得到谐振式加速度计的简化力学模型，在此基础上，利用哈密尔顿原理建立谐振式加速度计的控制方程；步骤二，根据步骤一建立的控制方程，进一步建立谐振式加速度计的力‑频率关系方程，进而可求解其灵敏度，为提高加速度计的性能，优化其结构提供设计基础和理论依据。

主权项

1.一种谐振式加速度计力‑频率关系方程建立方法，其特征在于：具体包括谐振式加速度计控制方程的建立和谐振式加速度计力‑频率关系方程的建立两个基本步骤；步骤一，所述谐振式加速度计控制方程的建立包括：建立谐振式加速度计力学模型：将谐振式加速度计等效为两端固支的欧拉梁，质量块等效为质量为m，不计尺寸小板将支撑梁等效为限定质量块只能左右移动的边界条件，得内部结构的力学模型；建立谐振式加速度计简化力学模型：当有加速度作用在质量块上时，质量块m上产生一个惯性力2F，惯性力使得谐振式加速度计简化力学模型产生一个方向向右的力，作用在梁的轴向上；为了便于找到这个轴向力在左右梁的分布情况，对谐振式加速度计简化力学模型做一个简化，将质量块看做集中质量m，与其连接的左右两梁的刚度分别为k₁、k₂，两根梁的轴向位移分别为x₁、x₂，由此可得到简化后的谐振式加速度计的简化力学模型；当质量块m受到一个2F拉力时，由简化力学模型可知k₁x₁+k₂x₂＝2F，其中，x₁＝x₂，所以，左端梁受拉力：右端梁受拉力：通过分析得知只有当k₁＝k₂，左右两端梁受力才为F；为方便研究，假设两梁完全相同；对谐振式加速度计的力学模型进行分析，根据哈密尔顿原理建立如下数学模型；谐振式加速度计内部结构的动能为其中，ρ为梁的材料密度，A为梁的等效横截面积，l为梁的轴向长度，m为梁的集中质量，u₁、u₂分别为左梁和右梁发生轴向拉伸的位移，v₁、v₂分别为左梁和右梁垂直于轴向的位移，为左梁的纵向、横向速度，为右梁的纵向、横向速度，为质量m的纵向速度；势能为虚功为δW＝F·δu₁(l)，对势能方程求变分可得其中，σ_1x、σ_2x为左右两梁受到的应力，δ表示变分，ε_1x、ε_2x代表两根梁在x方向的应变；应变由四部分组成：F引起的应变大小为其中，E为材料杨氏模量；x方向中性面的轴向线应变，应变大小为x方向中性面外任意一点的形变，应变大小为其中，y为梁宽的一半；几何非线性项，其大小为综上，将动能、势能和虚功的表达式代入哈密尔顿方程得其中，J为谐振梁的转动惯量，E为材料的杨氏模量，分别为左梁轴线上任意一点处纵向和横向加速度，分别为右梁轴线上任意一点处纵向和横向加速度，为质量m的纵向加速度；由加速度计实际模型可知边界条件为：当x＝0时，v1＝0,v′1＝0,v2＝0,v′2＝0,u1＝0,u2＝0，当x＝l时，v1＝0,v′1＝0,v2＝0,v′2＝0,u1(l)+u2(l)＝0,EA[u′1(l)‑u′2(l)]+mü1(l)＝F；将上述边界条件代入，得到加速度计的控制方程考虑系统作微幅振动，忽略以上方程中的高阶小的非线性项，同时鉴于结构的纵振频率远高于横振频率，忽略各方程中的耦合项，得到下列方程即为谐振式加速度计的控制方程；步骤二，所述谐振式加速度计力‑频率关系方程的建立包括：由于钢材料制作的梁纵振频率远高于横振频率，并且，在实际的直接输出频率加速度计的谐振敏感结构中，外部激振力激振的是音叉的横振模态，所以，加速度计的横振频率特性由方程和确定；考虑梁受拉力时，由式知，假设v₁具有如下形式，v₁＝V₁(x)sin(q_lt)，将其代入上式得，V₁″″‑α²V₁″‑k⁴＝0，其中ql为结构的谐振频率；设V₁(x)＝e^λx代入上式有，λ⁴‑α²λ²‑k⁴＝0，进一步得到令进而，V1(x)＝a1sin(λ2x)+b1cos(λ2x)+c1sinh(λ1x)+d1cosh(λ1x)，其中，a1、b1、c1、d1均为模态的待定系数；将固支边界条件代入模态得b₁+d₁＝0，a₁λ₂+c₁λ₁＝0，a₁sin(λ₂l)+b₁cos(λ₂l)+c₁sinh(λ₁l)+d₁cosh(λ₁l)＝0a₁cos(λ₂l)λ₂‑b₁sin(λ₂l)λ₂+c₁cosh(λ₁l)λ₁+d₁sinh(λ₁l)λ₁＝0，令d₁＝‑b₁，代入得[cos(λ2l)λ2‑λ2cosh(λ1l)]a1+[‑sin(λ2l)λ2‑sinh(λ1l)λ1]b1＝0因为a1、b1不等于0，可知，系数行列式为0，得到如下力‑频率关系方程同理，受压力时，由式得假设v₂有如下形式v₂＝V₂(x)sin(q_yt)，代入上式得，V₂″″+α²V₂″‑k⁴＝0，其中，设V₂＝e^λx代入上式有，λ⁴+α²λ²‑k⁴＝0，进一步得到，进而，V2(x)＝a2sin(λ1x)+b2cos(λ1x)+c2sinh(λ2x)+d2cosh(λ2x)，其中，a2、b2、c2、d2均为模态的待定系数；将固支边界条件代入模态得b2+d2＝0，a2λ1+c2λ2＝0，a2sin(λ1l)+b2cos(λ1l)+c2sinh(λ2l)+d2cosh(λ2l)＝0，a2cos(λ1l)λ1‑b2sin(λ1l)λ1+c2cosh(λ2l)λ2+d2sinh(λ2l)λ2＝0，令代入上两式得[cos(λ1l)λ1‑λ1cosh(λ2l)]a2+[‑sin(λ1l)λ1‑sinh(λ2l)λ2]b2＝0，因为a2、b2不等于0，由上两式知，其系数行列式为0，得到以下力‑频率关系方程