[发明专利]一种基于Floyd算法的空间误差补偿方法

摘要

一种基于Floyd算法的空间误差补偿方法，基于误差测量数据，利用旋量理论的指数矩阵形式，在机床的拓扑结构的基础上，建立起机床整体的空间误差模型，对误差模型的高次项削减，得到误差模型的基本方程；根据Floyd的最短距离算法，不断调整权值，迭代到精度允许的基本范围，得到误差补偿模型并以较小的运算量达到补偿效果，该误差补偿可用于各种复杂实际加工场合中的机床误差的实时补偿。并在实例中与经典误差补偿算法“ACO‑BPN”进行比较，通过仿真发现，Floyd补偿算法相较ACO‑BPN补偿算法，有着补偿效果好，执行效率高迭代次数少的特点，并在变温环境中验证了Floyd补偿算法的鲁棒性较好的特点。

主权项

一种基于Floyd算法的空间误差补偿方法，其特征在于：该方法的实现过程如下，步骤一 依据旋量理论建立机床的空间综合误差模型根据旋量理论的指数矩阵形式，将机床的每个运动部分抽象为一个6×1的向量形式；将运动形式及综合误差模块化处理，并用指数矩阵形式表述，根据机床的拓扑结构建立起机床的空间综合误差模型；步骤1.1旋量理论的指数矩阵形式任何刚体的运动都被分解为两部分：沿轴向的平移运动及绕轴的旋转运动；即，将各个部件看成旋量；单位旋量在Plücker坐标变成如下：$＝[ωTvT]T＝[ω1,ω2,ω3,v1,v2,v3]T   (1)表述一个刚体在空间上的任意运动形式，则有：$^=ω^v00---(2)]]>其中，υ＝[v1,v2,v3]T,表示反对称矩阵，如果ω＝[ω1,ω2,ω3]T，则表示为：ω^=0-ω3ω2ω30-ω1-ω2ω10---(3)]]>刚体运动包含平动及转动，向量q在刚体坐标系及参考坐标系是相同的；则刚体的齐次变换矩阵为：T=Rq01---(4)]]>旋量的指数形式对应的其次变换矩阵写为：当ω＝0时，刚体只有平移运动，则齐次变换矩阵为：T=e$^θ=I3×3vθ01---(5)]]>当ω≠0时，对于刚体而言也存在着旋转运动，此时指数矩阵为：其中的三角级数展开式表示为：eω^θ=1+ω^||ω||sinθ+ω^2||ω||2(1-cosθ)---(7)]]>综上，则有对于刚体在空间中的任意运动形式的指数矩阵表示为：当$为单位旋量，在‖ω‖≠0时，机械部位的旋转角表示为在‖ω‖＝0时，平移的距离表示为点在不同坐标系中的表示方式不同，它们之间的差异用变换矩阵来表述其关系；旋量也理解为坐标系中的一个点，在不同坐标系的表述方式也有所不同，因此也需要变换矩阵的形式来表述旋量在不同坐标系的关系，称之为伴随矩阵；刚体的运动旋量若为θ$，其变换形式的指数矩阵表述为：e$^θ=Rq01---(9)]]>则其此坐标系下的伴随指数矩阵形式：Adj(eθ$^)=R0q^R---(10)]]>伴随指数矩阵满足以下性质：$^1=Adj(eθ$^1)$2=eθ$^1$^2(eθ$^1)-1---(11)]]>e$^1=eeeθ$^1$^2(eθ$^1)-1=eθ$^1e$^2(eθ$^1)-1---(12)]]>对于机床这样的机械结构，用指数矩阵表述其结构则有：T=e$^1θ1·e$^2θ2...e$^nθn·T(0)---(13)]]>T(0)表示其原始变换矩阵，将其应用于机床的误差建模；步骤1.2利用指数矩阵型对机床进行空间综合误差建模在机床作业情况下，误差主要是几何误差和热误差的耦合作用，测得误差量δ均包含热误差及几何误差两项；即：δ＝δG+δT    (14)其中：δG是几何误差；δT是热误差；每个轴向的运动都会有6个方向自由度，同时会产生3个平动的误差及3个转动的误差；利用旋量理论，定义误差模块me$e；me$e＝[εx,εy,εz,δx,δy,δz]TX向的几何误差组成主要分为三部分；第一部分$xx包含定位误差及延该方向的滚摆误差第二部分$yx是水平面的线性误差及颠摆误差第三部分$zx是垂直面的线性误差及偏摆误差机床热变形最终反映到机床的运动部件上，机床运动部件由于机床热变形的影响，其运动轨迹偏离理想运动轨迹而产生的热误差；即在X方向运动是，与几何误差相似的，同样会出现6项热误差；即3项移动误差：X向线性位移热误差Y向直线度热误差和Z向直线度热误差三个转角误差：绕X轴的倾斜热误差绕Z轴的偏摆热误差和绕Y轴的俯仰热误差$xx=[ϵxxG+ϵxxT,0,0,δxxG+δxxT,0,0]T---(15)]]>$yx=[0,ϵyxG+ϵyxT,0,0,δyxG+δyxT,0]T---(16)]]>$zr=[0,0,ϵzxG+ϵzxT,0,0,δzxG+δzxT]T---(17)]]>X轴的空间误差表示为：e$^xe=e$^xx·e$^yx·e$^zx---(18)]]>X轴的误差模型用指数矩阵形式，表示为：Tx=ex$^x·e$^xe=ex$^x·e$^xx·e$^yx·e$^zx---(19)]]>同理得到其他轴的空间误差模块及指数矩阵的误差模型；步骤1.3关于垂直度和平行度误差的指数矩阵形式由于实际的轴与理想状态下的轴是有所差异的，相邻的两个轴不是绝对的90°；也就是说存在着垂直度误差；对于三个平动轴来说，假设Y轴为理想轴，不存在垂直度误差；则X轴与Y轴之间的垂直度误差为Sxy，Y轴与Z轴之间的垂直度误差为Syz，X与Z之间的垂直度为Sxz；在Y轴和实际安装的X轴向所组成的平面内，对于X轴仅存在Sxy，同理在实际Z轴存在其他两项垂直度误差；由于实际轴线方向不可避免的要偏离理想轴的位置，故考虑应在坐标变换中加入垂直度误差，对于理想坐标轴的变换形式：理想状态下的X向单位旋量表示为：$xi＝[0,0,0,1,0,0]T    (20)加入现实状态下的垂直度误差，则X向实际的单位旋量表示为：$xs＝[0,0,0,cos(Sxy),‑sin(Sxy),0]T   (21)对应的指数矩阵表示为：ex$^xs=100xcos(Sxy)010-xsin(Sxy)00100001---(22)]]>另一种写法，是将理想的X轴利用伴随矩阵的形式以Z为轴$zr旋转一定角度来达到X轴与Y轴呈90°的效果，即：$xs=Adj(e-Sxy$^zr)·$xi---(23)]]>$zr＝[0,0,1,0,0,0]T同理得到Z轴的垂直度误差旋量表述形式；对于A轴及C轴的转动，在安装时就会产生X向及Z向的偏离，即实际的A轴与X轴的平行度在Y向上的分量PYxA，A轴与X轴的平行度在Z向上的分量PZxA；同理会得到C轴与Z轴在平行度上的两个误差项；理想状态下A轴运动的轴线单位旋量为：$Ai＝[1,0,0,0,0,0]T   (24)加入现实状态下的沿Y向及Z向的平行度误差分量，则A向实际的单位旋量表示为：$As＝[cos(PYxA)cos(PZxA),‑sin(PYxA)cos(PZxA),‑sin(PZxA),0,0,0]T  (25)eA$^As=1Asin(PZxA)-Asin(PYxA)cos(PZxA)0-Asin(PZxA)1-Acos(PYxA)cos(PZxA)0Asin(PYxA)cos(PZxA)Acos(PYxA)cos(PZxA)100001---(26)]]>与上述矩阵变换方式类似，将理想的X轴分别延Y轴和Z轴旋转一定角度，来表达出现实状态下，A轴的实际位置：$As1=Adj(ePYxA$^zr)$xi;$As=Adj(ePZxA$^yr)$As1---(27)]]>同理得到C轴的平行度误差的指数矩阵表述形式；步骤1.4基于拓扑结构下的误差模型建立多体系统理论提供了很详细关于机床的拓扑结构模型，在指数矩阵中也同样进行应用；理想状态下，机床是不存在误差的；理想状态下的矩阵变换方程用Ti表示：Ti=e-a$^ai·e-b$^bi·e-c$^ci·ed$^di·ee$^ei---(28)]]>实际情况下，由于机床部件自身的误差和部件之间位置的误差将整体部件误差旋量加入到旋量模块中；用Ta表示：Ta=e-a$^as·e-$^ae·e-b$^bs·e-$^be·e-c$^cs·e-$^ce·e$^de·ed$^ds·e$^ee·ee$^es---(29)]]>根据实际与理想状态下的矩阵变换方程，得到多轴数控机床的空间误差模型：E＝Ti‑1·Ta    (30)对应空间误差在三个轴向上的分量Ex，Ey，Ez表示为：[Ex,Ey,Ez,1]T＝E·[0,0,0,1]T    (31)略去式中二阶及二阶以上的高次项，便得到空间误差的基本方程；步骤二 基于Floyd算法的空间误差补偿原理通常数控机床的误差补偿方法有两种：①根据实际加工所测试的误差数据，对数控加工程序进行人工调整；②利用数控系统可提供的参数设定方式的误差补偿功能，将预估的误差数据提前输入对应的误差补偿设置项，在实际加工过程中，数控系统将这些预设的误差项加入过程计算进行补偿；合理的修正行刀路径，也成为了近年来误差补偿的一种方式；两点中寻求最优的路径过程，使得偏差降低，将作为本文对误差补偿的主要方式；Floyd算法是通过权矩阵计算来实现的一种方法,其主要思想是从代表任意两个节点wi与wj距离的带权邻接矩阵D(0)开始，首先计算D(1)，即计算wi到wj经过一次经转的所有可能路径，经过比较后，寻求出最优路径，替代D(0)中对应的路径,迭代列出距离矩阵D(1)，D(1)中各元素表示通过一次迭代后网络中任意两点间最优路径,也即网络中任意两点之间直接到达或只经过一个中间点时的最优路径，即是最短；其次，为提高优化可靠性，构造迭代矩阵在两节点中插入节点wr进行路长比较，如果有或是则说明插入节点wr后，自wi到wj不会比原来的短；在机床补偿中，机床产生误差一种结果便是使得行程点产生偏移，并产生无效距离；寻求最短路径是作为行程超差需要完成的补偿工作，上述情况，都在已知目标点wt，实际到达点wj并有下，而另一种误差产生方式，便是由于制造缺陷，使得行程未达到预定位置点需要对形成点进行延长；即已知目标点wt，实际到达点wj，并已知计算从wi到wt经过一次经转的所有可能路径，经过比较后，再次构建迭代矩阵在两节点中插入节点wr进行路长比较，如果有或是则说明插入节点wr后，自wi到wj不会比原来的还要长，此方法便是Floyd算法补偿原理的核心方法；若机床刀具在X‑Y平面中运作；其坐标点为(xi,yi)，其移动方式便有8种形式，运动一个单元Δ，便成为(xi+Δ,yi+Δ)、(xi,yi+Δ)、(xi‑Δ,yi+Δ)、(xi‑Δ,yi)、(xi‑Δ,yi‑Δ)、(xi,yi‑Δ)、(xi+Δ,yi‑Δ)，则需要移动的距离可能为以此种方式作为栅化网格的标准；Floyd误差补偿算法实施步骤如下：第一步：栅化路径为n×n的，从权值矩阵看来，利用垂线法对路径进行节点选择w0、w1、w2、w3、w4、wj，并得到相互间的权值关系和方向关系；第二步：计算从wi到wj间有1个中间节点情况下的最短权值矩阵；设wi经过一个中间点wr到wj，则wi到wj的最短距离为：最短权值矩阵为第三步：计算从wi到wj间有k个中间节点情况下的最短权值矩阵；设wi经过中间点wr到wj，wr经过k‑r个中间点到达点wj的最短距离则wi经过k个中间点到达点wj的最短距离为最短权值矩阵为：第四步：比较|wr|y≤Llimit，如果成立，输出补偿结果；如果不成立，n＝n×n，并返回第一步继续运行直至范围符合区间条件。