[发明专利]基于改进非线性变换的水电系统频率非线性特性分析方法

权利要求书

1.基于改进非线性变换的水电系统频率非线性特性分析方法，其特征在于该方法的具体步骤是：

步骤一：建立水电系统包含弹性水击的高阶非线性数学模型：

X是包含N个状态变量的列向量，F为非线性函数映射；假设平衡点为原点，如果不是原点，进行坐标平移；

步骤二：得到水电系统特征值，左特征向量V、右特征向量U，海森矩阵H，并得到泰勒级数展开式：

其中，A是雅可比矩阵，A_i(X)是A中对应第i行列向量；

H为海森矩阵：

H_i为海森矩阵第i行列向量；H.O.T为状态变量X的3阶及以上高阶表达式；

步骤三：对式(2)进行式(3)所示线性变换：

X＝U·Y (3)

得到Y空间表达式:

第j行方程表达式为：

Y是线性变换后的新的N维空间变量；λ_j是矩阵A的第j个特征值，H.O.T1为状态变量Y的3阶及以上高阶表达式；

步骤四：提出改进非线性变换方法，它是利用一系列非线性变换构成整个非线性变换H；H为非线性变换，H_k为第K次非线性变换；

对Y空间系统先进行H₁非线性变换，得到Z⁽¹⁾空间表达式，然后进行H₂非线性变换，得到Z⁽²⁾空间表达式，一直进行，直到进行H_k非线性变换，得到Z^(k)空间表达式；K表示进行非线性变换的次数，它的取值根据精度要求确定；

每次H_k非线性变换，得到(6)

z_zi-1和z_zi是共轭特征值λ_2i-1和λ_2i对应的变量；b_2i-1,αβ是变换空间第2i-1个方程中z_αz_β项的二阶系数；b_{2i-1,αβ…ρ}变换空间第2i-1个方程中z_αz_β…z_ρ项的系数，其中与z_zi-1和z_zi相关的系数叫做自作用模式系数，其他的系数叫做互作用模式系数，另外根据精度要求每次保留K次项；

其中：

i为振荡模式标号，z_zi-1和z_zi是变换空间振荡模式i对应的两个变量，λ_zi-1和λ_zi是振荡模式i对应的两个特征值；μ_{zi-1,intra,αβ···ρ}为变换后与空间振荡模式i对应变量z_zi-1和z_zi相关项的自作用系数；

每次变换后的方程定义与某一振荡模式相关的两个变量的自作用振荡模式系数保留，而与其他振荡模式的相关的互作用系数忽略，以便将非线性系统振荡模式解耦，并保留一定的非线性；

非线性变换H函数的系数构造方法现说明如下：

针对已经线性变换的Y空间系统(4)，假设非线性变换函数为：

Y＝Z₁+H₁(Z₁) (7)

其中H₁我们假设保留2阶项；对应H₁中第2i-1和2i个方程如下式所示：

将式(7)、(8)代入式(4),得到变换后的空间表达式，并保留k阶项，为：

如果不存在二阶谐振λ_α+λ_β＝λ_i，通过式(7)让变换后空间方程式互相关系数消除为0，自相关系数为想要得到的值，则得到H变换系数为：

其h_{2i-1,inter,αβ}中，为非线性变换H函数中互相关系数；h_{2i-1,inter,αβ}是非线性变换H函数中自相关系数；b_{2i-1,inter,αβ}是原非线性函数中互相关系数；λ_α、λ_β、λ_2i-1为对应变量z_1,α、z_1,β、z_1,2i-1的特征值；b_{2i-1,intra,αβ}是原非线性函数中自相关系数；μ_{2i-1,intra,αβ}为变换后空间方程式对应的自相关系数，如果希望变换前后自相关系数不变，则h_{2i-1,inter,αβ}＝0；

步骤五：利用步骤四，最后得到变换Z空间方程：

其中Λ＝{λ₁,λ₂,…,λ_N}，D_j为维数为j的Z_k变量的自相关系数；

步骤六：考虑到变换后的空间方程为复数方程，通过线性变换，得到实数微分方程，此时不同振荡模式已经解耦，并保留了2阶非线性；

式中,z_zi-1和z_zi为H非线性变换后振荡模式i对应变量，z'_zi-1和z'_zi为线性变换后z_zi-1和z_zi对应变量；

得到实数表示的方程，如(14)所示；

式中，υ_i10为变换后z_zi-1项系数，υ_i0l为项系数，υ_ijl为项系数；

步骤七：在变换后的空间方程某一状态变量加扰动，得到每一振荡模式的响应；在该状态变量加不同的扰动值，根据频率的非线性定义T_u为扰动曲线上升这半个周期的时间，T_l为扰动曲线下降这半个周期的时间，从而得到该频率的随扰动值的变化的非线性特性。