[发明专利]一种三类变量区间B样条小波梁单元构造方法

说明书

技术领域

本发明属于有限元分析领域，具体涉及一种三类变量区间B样条小波梁单元的构造方法。

背景技术

本世纪60年代以来，与计算机相结合的各种数值方法使结构分析与计算发生了巨大的变化，取得了显著的进步，但是对于属于单变量的数值方法，当求出了单变量近似值之后，还必须通过其函数的若干阶导数及其关系才能得到其它场变量的近似值。近年来，基于二、三类变量广义变分原理及现代控制理论中的状态空间理论建立的多变量样条有限元模型，在计算各类场变量时，无需进行求导，甚至也不用物理关系就能直接获得其近似解答。对一类不满足物理关系的问题，也能获得近似解，从而扩大了弹塑性结构理论的解题范围。样条有限元法选择样条插值函数作为位移场函数，这是一种代数分段多项式，具有紧凑性、场未知量少、形成系统方程简捷、易于编制计算程序等特点，可在微型计算机上实施工程问题的计算，因此受到人们的重视。由于工程物理问题其数学模型大多可归结为偏微分方程的边初值问题，若能找到相应的广义变分原理，就可以应用多变量有限元法求解多类场变量问题。国内很多学者利用传统多变量有限元法和状态空间理论分析了板、壳问题，并对薄板的弯曲、振动与屈曲进行了研究。

小波分析作为近二十年来速发展起来的全新的数值分析方法，它最大的长处是具有多分辨分析(Multiresolution analysis，MRA)的特性，能够提供不同尺度的基函数作为有限元插值函数，由此构造的小波基单元可以根据实际需要任意改变分析尺度，可在变化梯度小的求解域用低阶次、小尺度的小波基单元，而在梯度变化大的求解域采用高阶次、大尺度的小波基单元。这是一种优于传统单元网格加密和阶次升高的自适应有限元算法，这种变尺度算法数值稳定性好、运算速度快、求解精度高；此外，小波基函数还具有优良的紧支特性，使得小波基函数可以聚焦到研究对象的任意细节，被数学家和工程师们誉为“数学显微镜”，  因而小波有限元用于处理工程中大梯度、应力集中等奇异性问题具有优越性。然而，在采用小波基作为插值函数构造单变量有限元单元的过程中，还存在难以构造出高阶单元的困难。本发明立足于克服小波单元构造中的困难，构造一维三类变量区间B样条小波(B-spline wavelet on the interval，BSWI)梁单元，用于进行机械系统结构和部件力学分析。

本发明基于BSWI及多变量有限元理论，提出了一种多变量BSWI有限元方法。传统有限元多项式插值被一维BSWI尺度函数取代，进而构造形状函数，然后，从相关问题的势能泛函出发，由变分原理进行推导。由此建立一种三类变量区间B样条小波梁单元模型，用于解决梁的结构分析问题。

发明内容

本发明的目的在于，提供一种三类变量区间B样条小波梁单元构造方法，利用区间B样条小波尺度函数构造独立的三类变量(位移、广义应力与广义应变)场函数，基于三类变量广义变分原理推导出多变量区间B样条小波有限元方程组，构造梁单元，用于解决梁的结构分析问题。此方法运算速度快，求解精度高。

为了实现上述目的，本发明采取的技术方案是：

将区间B样条小波尺度函数作为插值函数，构造独立的三类变量场函数，利用三类变量广义变分原理推导出多变量区间B样条小波有限元模型，构造三类变量区间B样条小波梁单元。

所述的将区间B样条小波尺度函数作为插值函数，构造独立的三类变量场函数，是采用阶数为m，m取值范围为2-6，尺度为j的BSWI尺度函数，j取值范围为1-8，记为BSWIm_j，三类变量BSWI梁单元物理空间中单元边界节点和内部节点都包括横向位移、应力和应变自由度，将BSWIm_j作为插值函数，构造独立的三类变量场函数，即对位移w(ξ)、应力σ(ξ)和应变k(ξ)分别独立插值，这里均采用BSWIm_j尺度函数插值，即

w(ξ)＝ΦT^ew^e

σ(ξ)＝ΦT^eσ^e

k(ξ)＝ΦT^ek^e