[发明专利]一种基于Grassmann空间和递归曲面表达的桁架受力模型建模方法

摘要

本发明公开了一种基于Grassmann空间和递归曲面表达的桁架受力模型建模方法，其特征是，包括如下步骤：1）在Grassmann空间和Grassmann坐标的基础上重新定义有理L、W曲线，并给出相应的曲线公式；2）在重心坐标的基础上给出L、W曲面在三角形域上的曲面公式，将L、W曲面从张量积形式的矩形域扩展到三角形域；3）建立质点桁架模型。这种方法能提高仿真图形的拟合程度和逼近的精度，在此基础上建立的网格曲面桁架受力分析模型受力分析简单易行、准确度高、可操作性好，该模型不但适用于刚性物体的受力分析，在选点较密的情况下，对柔性织物的仿真也有理想的效果。

主权项

1.基于Grassmann空间和递归曲面表达的桁架受力模型建模方法，其特征是，包括如下步骤：1)在Grassmann空间和Grassmann坐标的基础上重新定义有理L、W曲线，并给出相应的曲线公式：在通常的仿射空间中，有理L曲线常见的有递归形式如下：有理L曲线基函数形式可表示为：在高一维的Grassmann空间，有理L曲线影射为多项式曲线，有理L曲线在高一维的Grassmann空间的标准表达式为：ω_i为权因子，P_i为控制顶点，v_i'为权因子，将有理L曲线在高一维的Grassmann空间的标准表达式影射到仿射空间，得到有理L曲线一般表达式为：当t∈[0,1]时，由有理L曲线转化为有理W曲线，有理W曲线具备保凸性，有理W曲线基函数形式可表示为：而在高一维的Grassmann空间，有理W曲线影射为多项式曲线，当权取零的情况，有理W曲线在高一维的Grassmann空间的标准表达式为：有理W曲线在高一维的Grassmann空间的标准表达式射影到仿射空间，得到有理W曲线的一般表达式为：ω_i为权因子，P_i为控制顶点，v_i'为权因子；2)在重心坐标的基础上给出L、W曲面在三角形域上的曲面公式，将L、W曲面从张量积形式的矩形域扩展到三角形域：有理L曲面的表达形式有矩形域表达形式和三角形域表达形式，在仿射空间中有理L曲面的矩形域表达形式为：u∈[a,b],v∈[c,d]，ω_i为权因子，P_i为控制顶点，在高一维的Grassmann空间中有理L曲面的标准表达式为：高一维的Grassmann空间中有理L曲面的标准表达式射影到仿射空间，得到仿射空间中有理L曲面的一般表达式：ω_i,j为权因子，P_i,j为控制顶点，v_i',j'为权因子，对于仿射空间中有理L曲面的三角面片表达形式是：(0≤s,t,s+t≤1)，是建立在中心坐标基础上的有理L曲线三角形定义域的基函数，i+j+k＝n，在高一维的Grassmann空间中有理L曲面的标准表达式为：当s,t∈[0,1]时，有理L曲面转化为有理W曲面，在仿射空间中有理W曲面的基函数形式可表示为:s∈[a,b],t∈[c,d]而在高一维的Grassmann空间，有理W曲面影射为多项式曲面，有理W曲面在高一维的Grassmann空间的标准表达式为：高一维的Grassmann空间的标准表达式射影到仿射空间，得到有理W曲面的一般表达式：对于仿射空间中有理W曲面的三角形域上的表示形式是：在高一维的Grassmann空间中有理W曲面的标准表达式为：高一维的Grassmann空间中有理W曲面的标准表达式射影到仿射空间，得到仿射空间中有理W曲面的一般表达式：3)建立质点桁架模型：采用Blossom算实现法进行有理L、W曲面的构造，引入有理L、W曲面对三维的散乱点参数化，并进行曲面重建，完成对网格曲面的受力进行分析，对于网格曲面S上A_i点所受的力，一般分为内应力和外力内应力方向与切矢方向相同或相反，内应力合力在切平面内，由曲面上相邻点相互作用所决定，外力合力一般可分解为“垂直”力和“横向”力所谓的“垂直”是垂直于切平面，即在t_u×t_v的方向上；所谓的“横向”是在切平面内，力的加法与减法适用矢量的三角形法则，网格曲面S上A_i点的合力方程式：与和方向垂直，平衡时，即垂直力常分解为一对大小相等方面相反的压力与支撑力而即横向力分解为一对推力F_tⁱ与阻力其中η为表面摩擦系数，所以网格曲面S上A_i点的合力平衡方程是：对网格曲面S上所有n个受力点，则网格曲面S合力平衡方程为：内应力为网格曲面S相邻点之间的相互作用所产生的，是成对出现的，且大小相等方向相反，网格曲面S内所有n点的内应力之和有：由此，网格曲面S的合力平衡方程简化为：网格曲面S对于任一点O的合力矩方程为：平衡时有：其中是作用于A_i点处内应力合力，F_tⁱ是作用于A_i点水平推力合力，是作用于A_i点水平阻力合力，是作用于A_i点垂直压力合力，是作用于A_i点垂直支撑力合力，分别对O点的力臂，Lⁱ＝OA_i，若设O点为坐标原点，则由微分几何可求得OA_i与网格曲面S过A_i点的切平面的夹角β_i，压力和支撑力大小相等方向相反的，垂直与切平面；而内应力合力阻力与推力F_tⁱ都在切平面内，故：所以式③可简化为：若将Ai点看成质量为mi的质点，则Ai点的Grassmann坐标为(mi(xi,yi,zi),mi),则质点Ai因受力而产生的速度与加速度等物理参数为：在Grassmann空间中：可知加速度的Grassmann坐标可转化为(∑Fⁱ,m_i)，根据能量最小原理，系统合力达到平衡时，网格曲面S内部势能总和最小，于是模型归结于数学规划问题，即为凸规划：其中Ω是线性空间X中的凸集，f是Ω上的实值凸泛函，G：Ω→Z是凸映射，Z是具有正凸锥的赋范性空间，根据广义Lagrange乘子定理，则凸规划：其中μ₀是有限的，则在Z^*中存在Lagrange乘子使得：上式中称为Lagrange泛函，根据广义靶点定理，假设广义Lagrange泛函L(x,z^*)以为其广义鞍点，只要G是凸映射，则x₀即为规划问题的最优解，将网格曲面S几何模型近似简化为n个质点组成的桁架模型，则内部势能总和为：重力势能合为：动能合为：网格曲面上的桁架模型总能量为：以网格曲面上的桁架模型总能量为目标函数，结合约束条件为公式①，②完成网格曲面上的桁架受力分析。