[发明专利]一种高效快速模拟水力压裂的方法

摘要

一种高效快速模拟水力压裂的方法，包括以下步骤：1)根据有限元变分原理，得出水力压裂方程组的弱形式；2)根据方程组弱形式，通过伽辽金有限元离散化方法，并对流体方程中关于时间的一阶导数采用有限差分近似，得出有限元离散格式；3)对流体方程的刚度矩阵进行奇异值分解，分解时间域和空间域；4)将PGD解代入到离散格式中，分别得到时间域和空间域分解的离散方程；5)用交替方向迭代法进行求解得到X和T的大小；6)重复步骤4)和5)，得到PGD解中每一项Xm和Tm；7)将第6步得到的每一项Xm和Tm相乘并求和，得到压力场PGD解；8)对流体方程进行不动点迭代；9)输出压力场p，再根据固体离散方程得到位移场u；10)计算裂缝几何参数。

主权项

1.一种高效快速模拟水力压裂的方法，该方法包括如下模拟步骤：步骤1)、根据有限元变分原理，得出水力压裂方程组的弱形式，包括固体应力平衡方程的弱形式和流体压力方程的弱形式；建模过程具体如下：首先，对于固体应力平衡方程部分：σe＝Dε  (2)其中，上述式(1)‑式(3)为固体方程及相关关系式，σ为地层岩石的总应力张量，单位为MPa；ε为地层岩石的应变张量，其为百分数或小数；σe为岩石骨架的有效应力张量，单位为MPa；u为地层岩石的位移向量，单位为m；D为岩石骨架的线弹性本构张量，单位为MPa；T表示矩阵的转置符号；固体方程边界条件定义如下：其中σH、σh分别为远场最大、最小水平主应力，单位为MPa；pf(s,t)为作用在裂缝面上的流体压力大小，单位为MPa；nt、nf为远场外边界、裂缝内边界的法向量；s为裂缝位置，单位为m；t为时间，单位为s；根据有限元变分原理，以上固体方程对应的弱形式为：其次，对于流体方程部分：水力裂缝内流压方程如下：其中w为裂缝宽度，单位为m；Q0为流入液体的排量，单位为m3/s；δ(s)为Dirac函数；μ为液体粘度，单位为Pa·s；流体方程边界条件定义如下：其中，2L为裂缝长度，单位为m；‑L和L分别对应裂缝的两个尖端部；根据有限元变分原理，以上流体方程对应的弱形式为：综上，式(5)和式(8)分别是得到的水力压裂问题的弱形式；步骤2)、根据步骤1)得到的固体应力平衡方程的弱形式与流体压力方程的弱形式，根据伽辽金(Galerkin)有限元离散化方法，并对上一步中得到的流体压力方程的弱形式中关于时间的一阶导数采用有限差分近似，得出有限元离散格式；具体如下：其中，式(9)中的矩阵定义为：K^s＝∫_ΩB^TDBdΩ、其中式(10)中的矩阵定义为：M^f＝(M^s)^T、N_u、N_p为有限元形函数，为每个有限元网格节点值组成的向量。步骤3)、对流体方程的刚度矩阵K_f进行奇异值分解(SVD)，分解时间域和空间域；由于流体方程中的立方项具有非线性，对矩阵进行奇异值分解(SVD)，分解时间域和空间域，得到如下：其中步骤4)、将PGD(Proper Generalized Decomposition，最佳广义分解法)解代入到有限元离散格式中，分别得到时间域和空间域分解的离散方程；具体如下：设所求压力场的PGD解具有如下形式：由式(9)可知，如果求解压力场p，很容易得到位移场u的PGD解，因此只需对流体压力方程部分进行PGD求解即可；将上式(12)所求的PGD解代入到步骤2)的式(10)中分别得到：首先固定T，得到关于X的线性代数方程：其中式中各系数定义如下：再固定式(13)刚求出的X，得到关于T的一阶常微分方程：其中式中各系数定义如下：步骤5)、用交替方向迭代法进行求解即首先固定T，得到关于X的线性代数方程，再利用刚求出的X，得到关于T的一阶常微分方程，当满足一定收敛准则时，即可得到X和T的大小，迭代停止；具体如下：假定初始项X0、T0，应用交替方向迭代法对方程(13)和方程(15)进行交替迭代，当满足下述收敛准则时，即可得到X和T的大小，迭代停止准则如下：其中ε为允许误差；步骤6)、重复上述步骤4)和步骤5)，得到上式(11)中每一项Xm和Tm，当满足以下迭代停止准则时，退出循环，否则m＝m+1，直到满足条件(18)时结束；||XmTm‑Xm+1Tm+1||<ε  (18)步骤7)、将步骤6)得到的每一项X和T相乘并求和，得到当前压力场的PGD解；步骤8)、对流体方程进行不动点迭代，迭代格式如下：当满足以下迭代准则时，停止迭代：||pδ+1‑pδ||<ε  (20)步骤9)、输出最终压力场p，再根据式(9)的固体离散方程得到的位移场u；步骤10)、根据得到的位移场u，计算裂缝的几何参数。