[发明专利]一种基于勒让德多项式的铣削稳定性预测方法

摘要

本发明涉及先进制造领域，特别涉及一种基于勒让德多项式的铣削稳定性预测方法，本发明采用勒让德多项式来逼近动力学方程中的状态项、时滞项和周期系数项，采用多个已知时间点及其响应来拟合所需项，减小了计算方法的局部误差，从而提高了预测方法的精度。同时在获得稳定性叶瓣图的过程中，引入H矩阵，而不是直接代入F矩阵进行计算，减小了F矩阵计算过程中的迭代次数，从而节约计算方法的时间，提高计算效率。

主权项

一种基于勒让德多项式的铣削稳定性预测方法，其特征在于其包括以下步骤：①建立铣刀在单自由度铣削过程中的动力学方程：x·(t)=Ax(t)+B(t)x(t)-B(t)x(t-τ)---(1)]]>其中，为常系数矩阵，为随时间周期变化的系数矩阵，x(t)表示刀具在t时刻的状态响应，ωn表示刀尖点的固有频率，ζ表示相对阻尼，mt表示模态质量，w表示轴向切削深度，τ表示时滞；h(t)表示瞬时切屑厚度，其表达式为：h(t)=Σj=1Ng(φj(t))sin((φj(t))[Ktcos(φj(t))+Knsin(φj(t))]]]>(2)式(2)中，N表示铣刀的刀齿数目，Kt和Kn分别为切向和法向的切削力系数，φj(t)为第j刀齿的角位移，表达式为φj(t)＝(2πΩ/60)t+(j‑1).2π/N，窗函数g(φj(t))定义式为：式(3)中，φst和φex分别为第j刀齿的切入和切出角，当采用顺铣时，φst＝arccos(2ae/D‑1)，φex＝π；当采用逆铣时，φst＝0，φex＝arccos(1‑2ae/D)，ae/D为径向浸入比，即径向切深/刀具直径的比值；②将单自由度的铣削过程动力学方程(1)的时滞项τ平均分为m个小区间，则时间步长为其中任意一个时间小区间表示为[ti，ti+1|，i＝1，2，3，…m，将方程(1)在时间小区间[ti，ti+1]上进行积分，得到xi+1=eAΔtxi+∫titi+1eA(ti+1-s)[B(s)x(s)-B(s)x(s-τ)]ds---(4)]]>③通过构建一次勒让德多项式来拟合步骤②中式(4)的状态项x(s)、时滞状态项x(s‑τ)和随时间变化的周期系数项B(s)，具体过程如下：勒让德多项式的一般表示式为：Pn(x)=12nn!dndxn[(x2-1)n]---(5)]]>具体表达式为：P0(x)＝1  (6)P1(x)＝x  (7)P2(x)=12(3x2-1)---(8)]]>……令当x在区间[a，b]上变化时，对应的z在[‑1，1]上变化，变换后的表达式为：z=2x-(b+a)b-a---(9)]]>对勒让德多项式进行区间变换以后，得到新的多项式可以表示如下：P~n(x)=Pn(z)=Pn(2x-(b+a)b-a),(n=0,1,...)---(10)]]>利用区间变换后的勒让德多项式对已知点进行拟合，可以用(11)式进行表示：x(s)=Σk=0nak·P~k(s)---(11)]]>其中多项式系数可以通过下式进行计算：ak=(x,P~k)(P~k,P~k)=Σj=imωjxjP~k(sj)Σj=ii=1ωjP~k2(sj),(k=0,1,...,n.)---(12)]]>其中ωj为权值函数，ωj≡1，xj是时间点tj的响应对于任意的时间小区间|ti，ti+1|，i＝1，2，3，…m，利用(9)式将该时间区间变换到[‑1，1]区间上，取前两项变换后的勒让德多项式，来拟合方程(4)中的状态项经过区间变换可以得到P~n(s)=Pn(2s-(ti+1+ti)ti+1-ti),(n=0,1.)---(13)]]>用时间变量t作为自变量，则变换后的多项式可以写为：P~0(s)=1;---(14)]]>P~1(s)=2s-(ti+1+ti)ti+1-ti---(15)]]>通过上述两项多项式，可以将状态项表示为：x(s)=a0·P~0(s)+a1·P~1(s)---(16)]]>通过(12)式，并代入时间点ti、ti+1和其对应的响应值xi、xi+1，系数a0和a1可以表示为a0=xi+xi+12,---(17a)]]>a1=Σj=ii+1xj·[2tj-(ti+ti+1)ti+1-ti]Σj=ii+1[2tj-(ti+ti+1)ti+1-ti]2---(17b)]]>令ti＝0，ti+1＝Δt，a1可以简化为可以简化为：则类似的，时滞状态项x(s‑τ)和周期系数矩阵B(s)可以表示为：x(s-τ)=(1-sΔt)·xi-m+sΔt·xi-m+1---(19)]]>B(s)=(1-sΔt)·Bi+sΔt·Bi+1---(20)]]>④构建Floquet转移矩阵；将(18)、(19)、(20)式代入(4)式，可得Xi+1＝F0xi+(G11Bi+G12Bi+1)xi+(G12Bi+G13Bi+1)xi+1‑(G11Bi +G12Bi+1)Xi‑m‑(G12Bi+G13Bi+1)xi+1‑m                                                         (21)其中G11=1(Δt)2[(Δt)2·F1-2Δt·F2+F3]---(22a)]]>G12=1(Δt)2[Δt·F2-F3]---(22b)]]>G13=1(Δt)2·F3---(22c)]]>F0＝eAΔt   (23a)F1=∫titi+1eA(ti+1-s)ds=∫0ΔteA(Δt-s)ds=(F0-I)A-1---(23b)]]>F2=∫titi+1eA(ti+1-s)(s-ti)ds=∫0ΔteA(Δt-s)sds=(F1-(Δt)I)A-1---(23c)]]>F3=∫titi+1eA(ti+1-s)(s-ti)2ds=∫0ΔteA(Δt-s)s2ds=(2F2-(Δt)2I)A-1---(23d)]]>方程(21)可写为xi+1＝Pi[(F0+G11Bi+G12Bi+1)xi‑(G12Bi+G13Bi+1)xi+1‑k‑(G11Bi+G12Bi+1)xi‑k]       (24)其中Pi＝[I‑G12Bi‑G13Bi+1]‑1  (25)通过方程，可以得到各时间点振动位移映射关系，通过矩阵表示如下：xi+1xixi-1...xi+1-m=M11i0...0M1miM1,m+1iI0...0000I...000..................0000I0xixi-1xi-2...xi-m---(26)]]>其中M11i=Pi(F0+G11Bi+G12Bi+1)---(27a)]]>M1mi=-Pi(G12Bi+G13Bi+1)---(27b)]]>M1,m+1i=-Pi(G11Bi+G12Bi+1)---(27c)]]>系统的离散映射可以表示为ψ＝MmMm‑1…M1，ψ即为系统的Floquet转移矩阵，其中Mi=M11i0...0M1miM1,m+1iI0...0000I...000..................0000I0---(28)]]>⑤计算Floquet转移矩阵ψ的特征值，通过特征值的模判定系统的稳定性，具体的判定准则如下：