[发明专利]一种基于勒让德多项式的铣削稳定性预测方法

说明书

技术领域

本发明涉及先进制造领域，特别涉及一种基于勒让德多项式的铣削稳定性预测方法。

背景技术

随着制造业在我国国民经济中所占的比例越来越大，对机械加工水平的要求也越来越高。高速切削技术应运而生，并已广泛应用于航空、航天、船舶等领域的复杂零件制造中，铣削过程的颤振，严重影响工件的表面质量，并有可能造成机床的破坏。对铣削过程的颤振稳定性进行预测，选择合适的加工条件，可以控制颤振的发生，提高加工效率，降低加工成本。稳定性预测方法的精度和计算效率对确定颤振稳定性边界有着重要意义。

国际出版集团ELSEVIER出版的《International Journal of Machine Tools and Manufacture》杂志2010年第50卷上的“A full-discretization method for prediction of milling stability”一文中公开了一种基于全离散法的铣削颤振稳定性预测方法，该方法相对于前人的方法在计算效率方面有所提高，但计算方法的精度没有得到改善，该方法的计算效率和精度都可以得到提高。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种高效率、高精度的基于勒让德多项式的铣削时域稳定性预测方法。

为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：

本发明包括以下步骤：

①建立铣刀在单自由度铣削过程中的动力学方程：

其中，为常系数矩阵，为随时间周期变化的系数矩阵，x(t)表示刀具在t时刻的状态响应，ω_n表示刀尖点的固有频率，ζ表示相对阻尼，m_t表示模态质量，w表示轴向切削深度，τ表示时滞；h(t)表示瞬时切屑厚度，其表达式为：

式(2)中，N表示铣刀的刀齿数目，K_t和K_n分别为切向和法向的切削力系数，φ_j(t)为第j刀齿的角位移，表达式为φ_j(t)＝(2πΩ/60)t+(j-1).2π/N，窗函数g(φ_j(t))定义式为：

式(3)中，φ_st和φ_ex分别为第j刀齿的切入和切出角，当采用顺铣时，φ_st＝arccos(2a_e/D-1)，φ_ex＝π；当采用逆铣时，φ_st＝0，φ_ex＝arccos(1-2a_e/D)，a_e/D为径向浸入比，即径向切深/刀具直径的比值；

②将单自由度的铣削过程动力学方程(1)的时滞项τ平均分为m个小区间，则时间步长为其中任意一个时间小区间表示为[t_i，t_i+1]，i＝1，2，3，…m，将方程(1)在时间小区间[t_i，t_i+1]上进行积分，得到

③通过构建一次勒让德多项式来拟合步骤②中式(4)的状态项x(s)、时滞状态项x(s-τ)和随时间变化的周期系数项B(s)，具体过程如下：

勒让德多项式的一般表示式为：

具体表达式为：

P₀(x)＝1 (6)

P₁(x)＝x (7)

……

令当x在区间[a，b]上变化时，对应的z在[-1，1]上变化，变换后的表达式为：

对勒让德多项式进行区间变换以后，得到新的多项式可以表示如下：

利用区间变换后的勒让德多项式对已知点进行拟合，可以用(11)式进行表示：

其中多项式系数可以通过下式进行计算：

其中ω_j为权值函数，ω_j≡1，其中x_j是时间点t_j的响应

对于任意的时间小区间[t_i，t_i+1]，i＝1，2，3，…m，利用(9)式将该时间区间变换到[-1，1]区间上，取前两项变换后的勒让德多项式，来拟合方程(4)中的状态项

经过区间变换可以得到