[发明专利]旋转倒立摆实时监控系统的建模方法

摘要

一种旋转倒立摆实时监控系统的建模方法，可为工科自动化和机电一体化的专科、本科以及研究生开发一种理想的综合实训平台。其步骤如下1、旋转倒立摆对象建模，包括单级旋转倒立摆的数学建模和单级平面旋转倒立摆建模；2、空间旋转三维模型的建立，包括三维空间的坐标变换和三维到二维变换，三维空间的坐标变换包括平移变换、H变换和V变换。本发明针对一维旋转倒立摆建立数学模型和二维平面旋转倒立摆建立数学模型；一维与二维平面旋转倒立摆的建模为控制系统的分析、综合以及人机交互具有重要意义；本发明针对实时监控系统的三维动画显示建立了旋转空间的三维模型及三维到二维空间的变换模型，可以实现任意视角观察倒立摆的运行状态。

主权项

一种旋转倒立摆实时监控系统的建模方法，其特征是步骤如下：1)、采用旋转倒立摆实时监控系统，其由旋转倒立摆装置、现场检测与控制装置、上位机实时监控系统三部分组成；2)、旋转倒立摆对象建模2.1、单级旋转倒立摆的数学建模单级旋转倒立摆模型分析，以悬臂中心为原点水平向右方向建立x轴，以悬臂顶点垂直向上的方向建立z轴，以悬臂顶点的运动轨迹的切线方向建立y轴；在忽略各种阻力和摩擦条件下，将悬臂和摆杆抽象为两个匀质杆，摆杆质心到铰链距离为L，悬臂长度为R，相对其竖直方向z轴的零位角位移为α，相对其水平方向x轴的零位角位移为θ；基于Lagrange方程，局部线性化方程组为式中式中，Toutput‑‑‑直流伺服电机的输出转矩；Beq——粘性阻尼系数；m‑‑‑摆杆质量；L‑‑‑摆杆质心到铰链距离；R‑‑‑旋臂长度；J1——悬臂转动惯量；α‑‑‑相对其竖直方向的零位角位移；θ‑‑‑相对其水平方向零位的角位移；Rm——直流电机电枢电阻；Kg——变速器齿轮比；Km——反电动势系数；Kt——电机力矩系数；ηm——电机效率；ηg——变速器效率；g——重力加速度。以为状态变量，旋转倒立摆的状态空间模型建立如下：式中Vm‑‑‑控制器输出为直流伺服电机的电枢电压；2.2、单级平面旋转倒立摆建模平面旋转倒立摆的模型分析，将直线电机定子作为旋臂抽象为均质杆，长度为R1；直线电机的动子、托臂、托盘、支架与编码器总质量抽象成质量为M的小车，小车质心到转动中心的距离为x1；第二支架、托盘、第二转轴、第三转轴与配重构成虎克铰，摆杆1抽象成质量为m的均质摆杆，摆杆质心到虎克铰中心O1距离为l1，虎克铰中心到小车质心距离为l2；以悬臂旋转中心O为基点建立全局旋转坐标系OXYZ，选取OX方向与悬臂方向重合，同时旋转OXYZ坐标系随着悬臂水平面内旋转，相对水平方向零位的角位移为θ；建立以O1为原点、平行于OXYZ的局部坐标系o1x1y1z1和以O1为原点、z2轴沿摆杆轴线方向的局部坐标系o1x2y2z2；小车质心在全局旋转OXYZ坐标系中的位置矢量为rM＝[x 0 0]T，虎克铰中心点O1在全局旋转OXYZ坐标系中的位置矢量为r0＝[x+l2 0 0]T，摆杆质心在局部坐标系o1x2y2z2中的位置矢量为r0m＝[0 0 l1]T，θx与θy为摆杆绕X轴和Y轴的转角且沿轴的方向的观察，逆时针方向旋转角度为正，顺时针方向旋转角度为负，为摆杆分别绕X轴与Y轴的角速度，旋转坐标系与悬臂的旋转角速度为系统的总动能包括悬臂绕基点O转动的动能TR、小车沿X轴方向的平动的动能小车绕基点O转动的动能摆杆随质心m平动的动能与摆杆绕绕质心转动的动能悬臂转动的动能TR与小车转动的动能分别为：小车沿X轴方向平动的动能为：设摆杆相对于全局旋转坐标系的偏角是由摆杆先绕X轴旋转θx，再绕Y轴旋转θy而合成；采用横滚、俯仰、偏转角集表示的从o1x2y2z2到o1x1y1z1的姿态旋转变换矩阵为则摆杆质心m在OXYZ坐标系的位置矢量为：rm＝rO+Cr0m       (8)摆杆的平动动能为摆杆的绕质心的转动动能为式中：为摆杆绕质心的中心主转动惯量；和和分别为摆杆角速度在x2和y2轴上的投影；系统的总动能T为悬臂转动能TR、小车平动动能小车旋转动能摆杆平动动能与摆杆转动动能之和，即选取XOY平面为零势能面，悬臂与小车的势能为零，摆杆的势能即为系统的总势能，即V＝Vm＝mgl1cosθxcosθy             （12）以广义坐标q＝[θ x θx θy]T建立拉格朗日算子如下：拉格朗日方程如下：式中，Tθ为θ旋转方向受到的控制转矩，Fx为x轴方向受到的控制力，cθ、cx、cθx、cθy为摩擦阻尼系数；对拉格朗日方程变换求解，可得到该单级平面旋转倒立摆的数学模型如下：设状态变量X＝[x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8]T，其中，x1＝θ，x3＝x，x5x7＝θy，控制变量u＝[u1 u2]T＝[Tθ Fx]T，则二维自由度旋转倒立摆数学的状态空间描述如下：；控制变量u＝[u1 u2]T＝[Tθ Fx]T，则该二维自由度旋转倒立摆数学模型的状态空间描述如下：在平衡原点X＝[0 0 0 0 0 0 0 0]T附件采用泰勒级数展开的方式实现线性化，得到式中，3)、空间旋转三维模型的建立3.1、三维空间的坐标变换a)平移变换设坐标系A中的任意一点(xA,yA,zA)，且坐标系A1的原点在坐标系A中的位置为(a,b,c)，经过平移变换可以得到新坐标系A1下坐标：b)H变换平移变换后，得到坐标系A1，设A1中任意一点的坐标为(xA1,yA1,zA1)，并设该坐标系的Y轴在X‑Y平面上与目标坐标系B的夹角为H_angleA，经过H变换旋转可以得到A2坐标系下的坐标：得到一个新的坐标点(xA2,yA2,zA2)，此坐标点依旧是原坐标系A中的点在转换到坐标系B中的过程中的一个中间坐标系的坐标，将该坐标系命名为坐标系A2；c)V变换平移与H变换后，得到坐标系A2；设坐标系A2中任意一点的坐标为(xA2,yA2,zA2)，并设该坐标系的X轴在X‑Z平面上与目标坐标系B的夹角为V_angleA，再经过V变换旋转得到B坐标下的坐标：得到一个新的坐标点(xA3,yA3,zA3)，此坐标点即为原坐标系A中的点(x,y,z)在坐标系B中的坐标；综合上面的公式(18)(19)(20)，便可以得到由坐标系A转换到坐标B的公式：3.2、三维到二维变换在三维空间xyz内某点的坐标为A(x,y,z)，在xy平面内投影为A’，则转换成x’y’坐标系下的坐标变换关系为：