[发明专利]一种基于自适应勒让德皮卡迭代法的轨道预测方法

权利要求书

1.一种基于自适应勒让德皮卡迭代法的轨道预测方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1，获得航天器的初始位置与初始速度并选择航天器的初始预估轨道；

步骤2，自适应设置预测时间步长以及预测时间步长内的节点数目；

步骤3，基于带积分反馈项的勒让德皮卡迭代法得到航天器在各时间步长内各节点上的位置信息与速度信息，并通过插值技术获得航天器在任意时刻的位置信息与速度信息；

步骤3中，所述基于带积分反馈项的勒让德皮卡迭代法得到航天器在各个节点上的位置信息与速度信息，具体包括：

步骤3.1，获取航天器的初始位置信息x₀和初始速度信息v₀；

步骤3.2，将轨道预测问题转换为二阶微分方程组的求解问题，采用勒让德皮卡迭代法得到各节点的速度信息近似解以及位置信息近似解；

步骤3.3，采用速度信息的近似解、位置信息的近似解得到速度信息的误差近似值，再通过速度信息的误差近似值修正勒让德皮卡迭代的速度信息近似解以及位置信息近似解，得到带积分误差反馈的速度信息近似解与位置信息近似解，反复迭代该过程直到获得满足给定精度的速度信息近似解与位置信息近似解，并将其作为航天器在各个离散的节点上的速度信息与位置信息；

步骤3.2的具体包括：

将轨道预测问题转换为二阶微分方程组的求解的问题，即：

x″(t)＝f(t,x(t),x′(t)),t₀≤t≤t_f (1)

式中，x″(t)表示位置函数的二阶导数即加速度函数，x(t)表示位置函数，x′(t)表示位置函数的一阶导数即速度函数，t表示时间节点，t₀表示预测时间步长的初始时间，t_f表示预测时间步长的终止时间，表示一个四元向量值函数；

在初始条件x(t₀)＝x₀，x′(t₀)＝v₀下，可以将式(1)改写成为一阶状态空间方程组，为：

将其转换为积分方程，为：

给定初始的位置信息x₀、速度信息v₀和以开普勒轨道作为初始轨道可通过勒让德皮卡迭代产生一列近似解xⁱ(t)、vⁱ(t)，i＝1,2，···，其中，二阶微分方程组的勒让德皮卡迭代公式为：

式中，vⁱ(t)表示第i次勒让德皮卡迭代的速度信息近似解，x^i-1(τ)表示第i-1次勒让德皮卡迭代的位置信息近似解，v^i-1(τ)表示第i-1次勒让德皮卡迭代的速度信息近似解，xⁱ(t)表示第i次勒让德皮卡迭代的位置信息近似解，vⁱ(τ)表示第i次勒让德皮卡迭代的速度信息近似解；

令将[t₀,t_f]变换到标准区间[-1,1]，基于该变换，可以将式(4)重写为：

式中，s表示积分变量，g(·)为力函数，g(τ,x(τ))＝f(t(τ),x(t(τ)))以及x(τ)＝x(t(τ))；

采用勒让德多项式来逼近未知轨迹xⁱ和沿轨迹x^i-1的力函数g并使用勒让德多项式L_N+1在(-1,1)上的零点来表示状态轨迹，其中，将k次勒让德多项式记为L_k，零点记为τ_j，j＝0,1,···,N，通过勒让德多项式插值来近似力函数，即：

式中，L_k(τ)表示k次勒让德多项式；

使得给定x^i-1(τ_j)的值，使得系数向量可以借助前向离散勒让德变换立即计算，为：

式中，L_k(τ_j)表示k次勒让德多项式在点τ_j上的函数值，ω_j是针对{τ_j}的勒让德-高斯求积公式的权重系数，为：

式中，L′_N+1(τ_j)表示(N+1)次勒让德多项式在点τ_j处的导数值；

通过结合g(τ,x^i-1(τ))的插值及式(5)，得到xⁱ(t)、vⁱ(t)的近似值，即式(5)可以重写为：

因此xⁱ(τ_j)、vⁱ(τ_j)的值可以通过后向离散勒让德变换来得到，为：

式中，为系数向量；

获取积分矩阵S，将式(10)转换为简化的矩阵向量形式，为：

基于勒让德皮卡迭代，得到位置信息与速度信息第i次迭代的近似解，为：

式中，表示第i次勒让德皮卡迭代后速度信息的近似解，表示第i次勒让德皮卡迭代后位置信息的近似解。