[发明专利]边界积分方程中未知变量域积分的三重互易法转化方法

说明书

本发明属于计算机辅助工程技术领域，公开了一种边界积分方程中未知变量域积分的三重互易法转化方法，以偏微分方程的格林函数作为基本解推导得到问题的边界积分方程；利用三重互易插值方法，近似得到所述域积分中未知函数的高阶导数；利用三重互易法，把含未知函数的域积分转换为含未知函数的边界积分；基于边界元法理论进行表面网格划分，并在域内分布插值点，以边界节点作为源点得到边界积分方程，基于网格模型与高斯积分得到矩阵方程；以所有的域插值点为源点建立边界积分方程，得到其矩阵方程，联立以边界节点为源点的矩阵方程，求解该问题。本发明可以简化数值仿真中的前处理难度，减少仿真计算的前处理时间。

技术领域

本发明属于计算机辅助工程技术领域，尤其涉及一种边界积分方程中未知变量域积分的三重互易法转化方法。

背景技术

目前，最接近的现有技术：计算机辅助工程(CAE)技术在工程结构设计和分析中发挥着重要的作用，边界积分方程方法或边界元法(BEM)为CAE分析中重要的数值计算方法之一。采用BEM求解工程问题具有计算精度高、降维、减少前处理时间等特点。降维是边界积分方程方法最重要的优势之一，即仅需对问题域的边界进行离散和积分，这将降低模型网格划分难度、减少积分计算时间、降低问题的计算规模。但非齐次问题的边界积分方程中不可避免地会出现域积分，如含有内部热源的热传导问题和有体力的力学问题等，其次，若物理问题的控制方程无解析基本解，或基本解太复杂而不便于使用时，则只能使用该方程不完整算子的基本解，而将原方程左端的一部分移到方程右端，这样也会导致最终得到的边界积分方程中包含未知变量的域积分，如使用拉普拉斯基本解的赫姆霍兹方程、使用拉普拉斯基本解的瞬态热传导问题、使用弹性静力学方程基本解的弹性屈曲问题等，若对出现的域积分采用域内单元的方案，此时需要对问题域进行体网格划分，复杂结构将导致问题域划分体网格困难且耗时，甚至无法完成高质量的域内网格划分，BEM的降维优势完全丧失，所以，边界积分方程方法中域积分转化方法的研究十分重要。

现已有几种域积分转化方法被提出，并被成功地应用于稳态热传导、弹性静力等问题中，如双重互易法、三重互易法、径向积分法等。其中双重互易法的计算精度对域内离散点的分布十分敏感，精度不够稳定；双重互易法和径向积分法对于不同的域积分将采用不同的径向基函数插值，径向基函数的选取也将影响最终的计算结果；其中三重互易法具有统一的插值与转化方法，但目前不能应用于转化未知函数的域积分。

综上所述，现有技术存在的问题是：(1)域内插值点的分布以及基函数的选取使得现有的其他域积分转化方法不稳定；(2)三重互易法具有统一的插值与转化方法，但并不能应用于转化未知函数的域积分。

解决上述技术问题的难度：基于现有的三重互易法，提出改进的三重互易方法，得到转化未知变量的域积分的统一格式。

解决上述技术问题的意义：形成一种可以转化已知函数和未知函数域积分的域积分转化方法，使得边界元法再求解非齐次问题以及基本解太复杂的问题时，保持无需划分域内单元、简化前处理的优点，大幅减少复杂结构仿真计算中的前处理时间。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种边界积分方程中未知函数的域积分转化方法。

本发明是这样实现的，一种边界积分方程中未知函数的域积分转化方法，所述边界积分方程中未知函数的域积分转化方法包括以下步骤：

第一步，针对右端含未知变量的偏微分方程，以控制方程的格林函数作为基本解推导得到问题的边界积分方程；

第二步，利用三重互易插值方法，近似得到所述域积分中未知函数的高阶导数；

第三步，利用三重互易法，把含未知函数的域积分转换为含未知函数的边界积分，使得到的边界积分方程只含有边界积分；

第四步，基于边界元法理论进行表面网格划分，并在域内分布插值点，以边界节点作为源点得到边界积分方程，基于网格模型与高斯积分得到矩阵方程；