[发明专利]超弹性圆柱薄壳强非线性振动的MLP方法

权利要求书

1.一种超弹性圆柱薄壳强非线性振动的MLP方法，其特征在于：

基于Donnell非线性浅壳理论、拉格朗日方程以及小应变假设，得到描述圆柱壳大挠度振动的非线性微分方程组；

基于自由度凝聚法，将非线性方程组简化为含有大参数的强非线性Duffing方程；

利用参数变换以及改进的MLP法，得出相应的幅频和相频响应曲线；

所述圆柱壳大挠度振动的非线性微分方程组的方法，即：

在圆柱壳中面建立柱坐标系(x，θ，z)，其中x，θ和z分别表示轴向、环向和径向，u，v和w表示圆柱壳中面上一点的位移，u₁，u₂和u₃代表圆柱壳上任意质点的位移，l，h和R分别代表圆柱壳的初始长度、厚度以及中面半径；

圆柱壳上任意一质点位移(u₁,u₂,u₃)和中面上一点的位移(u,v,w)满足如下关系

壳体的位移-应变关系为

圆柱壳是由不可压缩Mooney-Rivlin材料组成，相应的应变能函数为

其中μ₁和μ₂为材料参数；在Cartesian坐标系中，Lagrangian应变张量和右Cauchy-Green变形张量如下表示

右Cauchy-Green变形张量的三个主不变量的表达式为

基于小应变假设以及不可压缩条件J＝1，求得ε_zz，即

将式(2.5)和(2.6)代入式(2.3)，得不可压缩Mooney-Rivlin应变能函数的具体表达式，考虑到计算的复杂性，仅将应变能函数在三个小变量ε_xx，ε_θθ和ε_xθ处展开至四阶；

圆柱壳的动能及弹性势能的表达式如下：

其中h和ρ分别是薄壳厚度以及材料密度；

采用近似函数将无限自由度的连续系统离散为有限自由度系统，另外，对于两端简支的圆柱壳，当x＝0,l时，其边界条件为

v＝w＝0,N_x＝M_x＝0           (2.9)

其中N_x和M_x分别是单位长度的轴向力以及单位长度的弯矩，描述圆柱壳运动的Lagrange方程为：

其中L＝T-P是系统的Lagrangian函数，Q_i是广义力，I是用于离散系统的自由度数，T和P分别为对应的动能和弹性势能，将周期外力所做的虚功记为F_e，并引入瑞利耗散函数描述非保守阻尼力所做的功F_d，具体表达式如下：

其中c是与阻尼有关的系数，F_x，F_θ和F_z分别为作用在圆柱壳x，θ以及z方向上的单位分布力；

利用中面位移的基函数对连续系统进行离散，其满足相同的几何边界条件，即

其中m为轴向半波数，n为环向波数，λ_m＝mπ/L，t表示时间，u_mn(t)，v_mn(t)和w_mn(t)为与时间t相关的广义坐标，对于模态展开的每一项，瑞利耗散函数的系数c都有不同的值，经过计算，式(2.12)可变为

其中c_m,n是与模态阻尼比有关的阻尼系数，令其中ω_m,n为模态(m,n)的固有频率，ρ_m,n为该模态的模态质量；

引入由广义坐标组成记号q＝(u_m,n,v_m,n,w_m,n)^T，与时间相关的向量q的元素记为q_i，广义力Q_i可由对瑞利耗散函数和外力所做虚功的微分得到，即

将相关表达式代入Lagrange方程(2.10)，得到描述圆柱壳运动的非线性微分方程组：

即

其中[M]，[K]和[K₃]分别是广义质量矩阵、广义线性刚度矩阵和广义非线性刚度矩阵；[C]为瑞利阻尼矩阵，且[C]＝β[K]+γ[M]，其中β和γ是通过实验测定的常数；

所述基于自由度凝聚法，将非线性方程组简化为含有大参数的强非线性Duffing方程的方法，即在不计面内惯性和阻尼的条件下，根据式(2.15)，导出如下关系

平面内位移关系的表达式为

其中

根据式(2.15)，得如下运动微分方程

将式(2.17)、(2.18)代入式(2.19)，则得壳体仅关于w的径向非线性运动微分方程，即

其中c_d为结构阻尼系数，且M_c＝K₁₃b+K₂₃d+M₃₃，K_c＝K₁₃a+K₂₃c+K₃₃，并引入下述记号

则(2.20)整理为如下具有大参数ε的Duffing形式的强非线性微分方程

其中ε、P_f和s分别为与阻尼有关的参数、非线性刚度、外激励幅值以及与外激励频率相关的参数，(·)′表示对于τ求微分；

所述利用参数变换以及改进的MLP法，得出相应的幅频和相频响应曲线的方法是：

忽略面内惯性的可行性分析

首先对考虑面内惯性的系统的自由振动进行线性化，则有

对不考虑面内惯性的系统的自由振动进行线性化，有

对于不可压缩超弹性材料的线性化材料参数，μ₁＝416185.5Pa，μ₂＝-498.8Pa，ρ＝1100kgm^-3，薄壁圆柱壳的结构参数为L＝520×10^-3m，R＝150×10^-3m，h＝3×10^-3m，阻尼参数取结合这些参数及式(2.23)和(2.24)，得两种情况下圆柱壳径向振动的固有频率，最低频率并不出现在环向波数和轴向半波数同时取最小值的情形，此外，仅当环向波数n＝0时，忽略面内惯性的结果误差较大，随着环向波数n的增大，不计面内惯性所产生的误差就会越来越小，当环向波数n≥3时，不计面内惯性所产生的误差值低于5％，取轴向半波数m＝1，环向波数n＝4，并认为在该条件下不计面内惯性所产生的误差是可以接受的；

MLP法摄动分析，

自由振动

根据式(2.22)可圆柱壳非线性自由振动的微分方程，如下所示

W″+W+εW³＝0                 (2.25)

令ω为圆柱壳自由稳态振动的角频率，采用MLP法对式(2.25)进行摄动分析，现引入新变量τ^*＝ωτ和如下定义的新参数α，即

将角频率ω展开成与ε和α有关的幂级数形式，如下所示

其中ω_i和δ_i是待定的未知常数，对于二阶摄动解，将径向位移展开成与α有关的幂级数形式，即W(τ,α)≈W₀+W₁α+W₂α²，联立W(τ,α)≈W₀+W₁α+W₂α²，τ^*＝ωτ，式(2.25)和式(2.27)，得

其中(·)′表示对τ^*求微分；令α不同次幂的系数等于零，得

W₀″+W₀＝0                  (2.29)

各方程的初始条件变为

依次求解微分方程(2.29)～(2.31)，即得

将式(2.33)代入式(2.26)得

得如下的幅频关系

因此，式(2.25)的二阶近似解为

对于自由振动问题，其角频率的精确解形式为

其中，m＝εA²/[2(1+εA²)]；

对于不可压缩Mooney-Rivlin材料组成的圆柱薄壳，其非线性振动行为呈现出明显的硬化行为，即其骨架线是向右弯曲的。

2.如权利要求1所述的超弹性圆柱薄壳强非线性振动的MLP方法，其特征在于：

MLP法摄动分析

受迫振动

对于二阶摄动解，式(2.22)中的阻尼参数和载荷幅值都应除以ε²，并引入如下变量变换

引入时间尺度变换，即τ^*＝sτ，假设阻尼系数与外激励频率是无关的，同时，由于阻尼的存在，稳态响应与激励之间存在相位差，令θ为激励的初始相位，则对应的稳态响应的初始相位为0，则式(2.22)整理为

s²W″+ε²μW′+W+εW³＝ε²Fcos(τ^*+θ)          (2.39)

其中(·)′表示对τ^*求微分，依据MLP法，引入式(2.26)中的参数变换，给出如下展开关系

通过考虑径向位移的二阶近似展开，式(2.39)有如下表示式：

令α不同次幂的系数都等于零，得

W₀″+W₀＝0           (2.42)

各方程的初始条件变为

结合初始条件，依次求解微分方程(2.41)～(2.43)，即得

将式(2.46)代入式(2.38)和式(2.39)，即得如下幅频响应关系

相应地，相频特性方程为

下面给出阻尼受迫振动的稳态解，即

W(τ,α)＝W₀+W₁α+W₂α²          (2.49)

与线性本构关系相比，采用非线性Mooney-Rivlin本构关系的壳的骨架线呈现软化效应，但在考虑超弹性薄壁圆柱壳大挠度振动的情况下，其响应仍表现出一般的硬化行为。