[发明专利]非高斯系统动态数据校正与系统控制性能优化方法

权利要求书

1.一种非高斯系统动态数据校正与系统控制性能优化方法，其特征在于：包括以下操作步骤：

步骤一、非高斯扰动下系统模型描述：

在一个单变量系统中，t时刻的输出能够被分解成两部分：可预测的部分和不可预测的部分(δ(t))：

其中，ω(t)为过程噪声，设定δ(t)和测量噪声ε(t)为高斯混合模型，概率密度函数如下所示：

式中，g[·]是高斯分布密度，c_k和f_n为均值，和为方差；

测量输出y_m与真实输出y的关系式为：

y_m(t)＝y(t)+ε(t)，

校正后输出y_r(t)的后验分布由测量输出y_m(t)和可预测部分给出；根据贝叶斯准则，y_r(t)的后验分布与y_m(t)的似然函数和的似然函数的乘积成正比，即：

和L[y_m(t)|y_r(t)]计算公式如下：

其中，各个高斯分量的均值满足如关系式：

p(y_r(t))是y_r(t)的先验概率，它是一个常数，那么：

基于最大后验分布原理，y_r(t)的估计值可由下式得到：

即最大化和L[y_m(t)|y_r(t)]的乘积，得到最优的校正信号y_r(t)。针对含有非高斯噪声的测量数据y_m(t)，直接运用最大似然估计的办法求取最优的校正信号y_r(t)，很明显将会面临计算量过于庞大的问题，故先定义出无法观测的隐变量，建立依赖于隐变量的概率模型，在概率模型中寻找参数最大似然估计，即采用EM算法完成校正信号y_r(t)的求解；

步骤二、利用EM算法进行该问题描述中迭代公式的推导：

(1)明确隐变量，写出完全数据的对数似然函数：

设想观测数据y_m(y_m1,y_m2,…,y_mJ)的产生为：首先依概率a_k选择第k个高斯分布分模型g(y_m|θ_k)；然后依第k个分模型的概率分布g(y_m|θ_k)生成数据y_m；这时观测数据y_mj,j＝1,2,…,J,已知；反应观测数据y_mj来自第k个分模型的数据未知，k＝1,2,...,K，以隐变量γ_jk表示，其定义如下：

同理得观测数据相对应的隐变量其定义如下：

完全数据是：据此写出完全数据的似然函数：

其中，

那么，完全数据的对数似然函数为：

(2)EM算法的E步:确定Q函数；

对完全数据的对数似然函数求期望，即得到Q函数：

计算E(γ_jk),分别记为

同理得：

是在当前模型参数下观测数据y_mj来自第k个分模型的概率，成为分模型k对观测数据y_mj的响应度；

是在当前模型参数下观测数据来自第n个分模型的概率，成为分模型n对观测数据的响应度；

根据上述计算，即得

(3)EM算法的M步：最大化Q函数，得到迭代公式；

迭代的M步是求Q函数对参数的极大值，即求新一轮迭代的模型参数：

用表示θ⁽ⁱ⁺¹⁾的各个参数；求只需将Q函数分别对λ_k,η_k,μ_n,ρ_n求偏导并令其为0，即可得到；求是在∑a_k＝1，∑b_n＝1条件下求偏导数并令其为0得到，结果如下：

即得到求解各参数的迭代公式；重复以上计算，直到对数似然函数值不再有明显变化为止；

步骤三、利用上述迭代公式求解校正后输出y_r：

各高斯分量存在如下关系:

求解该方程组，即可得到最优的校正后输出y_r；

步骤四、基于统计信息的性能指标选取，具体如下：

由于过程受非高斯随机干扰的影响，因此采用除均值、方差之外的更一般的统计信息进行随机性度量；为了刻画跟踪性能和干扰抑制性能，平方跟踪误差的平均值和跟踪误差的熵都最小化；此外，控制能量也最小化；因此，通过最小化以下性能指标来获得控制器：

这里采用不确定性的一般测度，即熵，代替高斯系统中的方差；考虑到计算效率，选取的熵测度为二次任意熵由信息势(IP)的定义知，二次任意熵是二次信息势的单调函数，因此，二次任意熵的最大化等价于信息势的最小化，采用随机梯度法，即实现最优控制方法。