[发明专利]基于双层Kalman滤波器的间歇故障诊断与主动容错控制方法

权利要求书

1.基于双层Kalman滤波器的间歇故障诊断与主动容错控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)建立执行器发生间歇故障的线性离散时间系统模型：

式(1)中，x(k)∈Rⁿ表示系统状态，u(k)∈R^q表示控制输入，y(k)∈R^m表示系统输出，m^θ(k)∈R^q表示间歇故障矩阵；A、B、C和F是维数适当的已知矩阵，且B＝F；w(k)∈Rⁿ、v(k)∈R^m均满足高斯分布，且：

E(w(k))＝0，E(w(k)w^T(k))＝W；E(v(k))＝0，E(v(k)v^T(k))＝V；

其中，W、V为正定对称阵，并设w(k)和v(k)是不相关的，即cov(w(k),v(k))＝0；

假设线性离散时间系统的初始状态x(0)与w(k)无关，且有则将间歇故障矩阵定义为：

m^θ(k)＝[ρ¹(k)m¹(k)…ρⁱ(k)mⁱ(k)…ρ^q(k)m^q(k)]^T (2)；

θ(k)＝{ρ¹(k)…ρⁱ(k)…ρ^q(k)} (3)；

式(3)中，θ(k)为执行器间歇故障发生序列，θ(k)中包含多个执行器的故障信息，其中，ρⁱ(k)＝0表示第i个执行器未发生间歇故障，ρⁱ(k)＝1表示第i个执行器发生间歇故障；并且，将间歇性故障m(k)动态特性描述如下：

式(4)中，Γ(·)表示离散阶跃函数，f(p)表示间歇故障幅值，τ_1,p,τ_2,p分别表示第p次间歇故障的出现与消失时间，且满足τ_1,p＜τ_2,p＜τ_1,p+1；

(2)基于双层Kalman滤波器的间歇故障诊断

(2.1)间歇故障发生序列的检测：

向式(1)中代入输入向量u(k)和输入阵B来描述执行器发生的间歇故障的变化：

其中，u^excl_i(k)为输入向量u(k)的第i行，u^incl_i(k)为输入向量u(k)的余下各行，B^excl_i为输入阵B的第i列，B^incl_i为输入阵B的余下各列；

将q个Kalman滤波器组成Kalman滤波器组以实现故障隔离，其中，q表示执行器数目，每个Kalman滤波器对应监测一个特定的执行器，将除去该执行器后剩余执行器输入作为滤波器输入，即u^incl_i(k)作为输入，B^incl_i为对应的系数矩阵；则第一层Kalman滤波器组的第i个Kalman滤波器方程为：

I：一步预测：

II：状态更新：

P_i(k|k)＝(I-L_i(k)C)P_i(k|k-1)(I-L_i(k)C)^T+L_i(k)L_i(k)^T；

III：状态估计误差：

其中为k时刻的状态预测，P_i(k|k-1)为的协方差矩阵，为k时刻的状态估计，P_i(k|k)为的协方差矩阵；

Ⅳ：滤波增益：

欲使第i个滤波器的状态估计误差对故障源B^excl_i不敏感，进而实现间歇故障隔离，需满足以下条件：

(I-L_i(k)C)B^excl_i＝0；

则满足故障隔离的增益阵L_i(k)有解的充要条件为rank(C)≥rank(B^excl_i)，同时(I-L_i(k)C)A稳定；

定义为第i个滤波残差，并选取滤波残差加权平方和作为指示故障的系统残差，即：其中，Σ为的标准方差；

定义如下逻辑判断关系来实现第i个执行器间歇故障的检测和隔离：

其中j＝1,…,i-1,i+1,…,q，阈值T_r可根据χ²分布表来确定，χ²分布的自由度为1；

当ρⁱ(k)由0变为1，第i个执行器发生间歇故障，此时刻τ_1,p为第p次间歇故障发生时刻；当ρⁱ(k)由1变为0时，间歇故障消失，则该时刻τ_2,p称为第p次间歇故障消失时刻；则θ(k)可知；

(2.2)间歇故障最优估计：

在第一层Kalman滤波器所检测的间歇故障发生序列的基础上，采用以下第二层Kalman滤波器来实现间歇故障最优估计：

I：状态更新：

P^θ(k|k)＝(I-L^θ(k)C)P^θ(k|k-1)(I-L^θ(k)C)^T+L^θ(k)L^θ(k)^T；

II：状态预测：

P^θ(k+1|k)＝AP^θ(k|k)A^T+W；

III：间歇故障估计：

Q^θ(k)＝[(CF^θ(k-1))^TH^-1(k)CF^θ(k-1)]⁺ (5b)；

H(k)＝CP^θ(k|k-1)C^T+I (5c)；

式中：F^θ(k)＝[ρ¹(k)f¹…ρⁱ(k)fⁱ…ρ^q(k)f^q]，表示故障特征矩阵，其中，ρⁱ(k)是通过第一层Kalman滤波器检测出故障后确定，发生故障的执行器为1，未发生故障的是0，fⁱ表示矩阵B的第i列向量；

Ⅳ：无故障约束的状态估计：

式中：状态估计为最小方差无偏估计，即最优估计；其估计误差协方差阵为Pθ(k|k)；为间歇故障最小方差无偏估计，其估计误差协方差阵为Q^θ(k)，+表示广义逆；为实现最优估计，将滤波增益L^θ(k)解耦为无故障约束增益L⁰(k)与间歇故障增益M^θ(k)，其中，L^θ(k)∈R^n,m，L⁰(k)∈R^n,m，M^θ(k)∈R^q,m，L⁰(k)表示无故障约束增益，即为假设系统在未发生故障时的滤波器最优增益；并定义滤波器的初始状态为：P^θ(0|-1)＝P(0)≥0；

以下定理1给出了L^θ(k)、L⁰(k)、M^θ(k)的求解方法：

假设rank(CF^θ(k-1))＝rank(F^θ(k-1))＝q，则存在滤波增益L^θ(k)、无故障约束增益L⁰(k)及间歇故障增益M^θ(k)使为最优估计：

L^θ(k)＝L⁰(k)+μ^θ(k)M^θ(k) (7a)；

L⁰(k)＝P^θ(k|k-1)C(CP^θ(k|k-1)C^T+I)^-1 (7b)；

μ^θ(k)＝(I-L⁰(k)C)F^θ(k-1) (7c)；

M^θ(k)＝Q^θ(k)(CF^θ(k-1))^T(CP^θ(k|k-1)C^T+I)^-1 (7d)；

(3)间歇故障的容错控制：

根据步骤(2)获得的的估计值设计如下容错控制率：

并根据如下的定理2实现执行器间歇故障的容错控制：

对于如式(1)所示的发生间歇故障的线性离散时间系统，采用如式(23)所示的容错控制率，若控制器增益满足：

K_x(k)＝[R+BP(k)B]^-1B^TP(k)A (24a)；

P(k)＝C^TQC+[A-BK_x(k)]^TP(k)[A-BK_x(k)]+K_x(k)^TRK_x(k) (24b)，

其中，Q为半正定加权矩阵，R为正定加权矩阵；

K_m(k)＝-K_x(k)μ^θ(k)+V^θ(k) (24c)；

μ^θ(k)＝(I-L⁰(k)C)F^θ(k-1)；

V^θ(k)＝[C(I-A)^-1B]^-1C(I-A)^-1F^θ(k) (24d)；

则式(1)所示的发生间歇故障的线性离散时间系统满足控制目标且反馈控制是以下式(24e)所示的二次性能指标意义下的最优控制，且闭环系统具有容错特性：

其中，步骤(3)中，定理2的证明方法为：

增广系统状态方程如下：

式(25)中，X^θ(k)＝[x^θT(k) m^θT(k)]^T，且当能控、且满足(A,B)能控时，重构的容错控制率可写为如下式(26)，以实现抵消间歇故障的影响：

当系统无故障发生时，系统状态方程为：

x^θ(k+1)＝Ax^θ(k)+Bu(k)+w(k)

y(k)＝Cx(k)+v(k)；

其中，系统状态x^θ(k)＝x⁰(k)，m^θ(k)＝0，所以有u(k)＝-K(k)X(k)＝-K_xx⁰(k)＝uⁿ(k)；故定义K_x(k)为无故障状态的控制器增益，可由LQR方法求解；利用求解出的如式(5a)和式(6)所示的最优估计，选择合适的Q、R来寻找一个最优控制输入u(k)满足式(24e)，同时二次性能指标泛函P满足Riccati方程(24b)，解得K_x(k)如(24a)所示；

进一步运用如式(12a)、式(12b)、式(12c)和式(12d)所示的非奇异变换法求解控制器增益中的K_m(k)与V^θ(k)，实现故障分析：

进行如下矩阵变换：

不考虑系统噪声，将式(26)代入式(25)，可得：

其中，当V^θ(k)与μ^θ(k)满足下列等式时，可实现容错控制对故障抑制作用：

(A-I)μ^θ(k)+F^θ(k)＝BV^θ(k) (28a)；

Cμ^θ(k)＝0 (28b)；

并且当满足时，式(28a)有解，解得V^θ(k)如式(24d)所示，继而实现系统的故障分离，故而有式(27a)和式(27b)变为：

则控制信号可写为：

2.如权利要求1所述的基于双层Kalman滤波器的间歇故障诊断与主动容错控制方法，其特征在于，步骤(2.2)中，定理1的证明方法为：

定义状态预测误差为定义状态估计误差为定义状态预测协方差为且有：

e^θ(k+1|k)＝Ae^θ(k|k)+Fm^θ(k)+w(k)；

e^θ(k|k)＝(I-L^θ(k)C)e^θ(k|k-1)；

E{e^θ(k|k-1)}＝Fm^θ(k-1) (8)；

状态估计为无偏估计，则有E{e^θ(k|k)}＝(I-L^θ(k)C)E{e^θ(k|k-1)}＝0；

将式(8)代入E{e^θ(k|k)}＝(I-L^θ(k)C)E{e^θ(k|k-1)}＝0中，可得：

(I-L^θ(k)C)Fm^θ(k-1)＝0 (9)；

其中，F＝[f¹…fⁱ…f^q]，fⁱ表示矩阵F中与执行器i对应的相应列；

利用步骤(2.1)中获得的θ(k)将式(9)简化为：

L^θ(k)CF^θ(k-1)＝F^θ(k-1)；

其中，间歇故障矩阵转化为：

F^θ(k)＝[ρ¹(k)f¹…ρⁱ(k)fⁱ…ρ^q(k)f^q]；

若通过重构滤波方程中的滤波增益来解耦间歇故障，则需满足即需同时满足条件：

当满足上述条件时，存在M^θ(k)，且有I^θ(k-1)＝diag[ρ¹(k-1)…ρⁱ(k-1)…ρ^q(k-1)]使得：

M^θ(k)CF^θ(k-1)＝I^θ(k-1) (10)；

可达到完全重构间歇故障增益的目的，将(7a)等式两边同时右乘CF^θ(k-1)并将式(10)代入即可得到(7c)；

通过求解带间歇故障增益约束下的增广Kalman滤波最优估计来间接求解M^θ(k)：

将状态估计与间歇故障估计值增广为设故障估计误差为则增广估计误差协方差阵为增广增益矩阵为

增广的Kalman滤波器方程表示为

P^θ(k+1|k)＝[A 0]Ω^θ(k|k)[A 0]^T+W；

其中，当P^θ(k|k-1)为最小值时，为Xθ(k)的最优估计，其增益为则此时Ω^θ(k|k)在满足约束条件下同为最小值，则解的条件表示为：

由于L^θ(k)与M^θ(k)耦合，故(11)无法直接求解；运用增广矩阵的非奇异变换，矩阵变换为：

T₁(k)为非奇异变换矩阵，有：

则增广的状态估计方程改写为：

故当P^θ(k|k-1)为最小值时，同样为的最优估计，其增益为为下式(13)的解：

且由变换得到：

其中，L^0T(k)在变换后与M^θT(k)解耦，L⁰(k)由Kalman滤波器在线得到，即为定理1中式(7b)；则(13)式中约束可转化为式(10)，且最优估计问题转换为：

s.t.M^θ(k)CF^θ(k-1)＝I^θ(k-1)；

式(14)中，Ξ＝(P^θ(k|k-1)C^T-L⁰(k)H(k))M^θT(k)；

式(14)中P⁰(k|k)与Q^θ(k)同样在变换后解耦，故有

其中，无故障约束状态估计误差协方差阵为：

P⁰(k|k)＝(I-L⁰(k)C)P^θ(k|k-1)(I-L⁰(k)C)^T+L⁰(k)L⁰(k)^T (15)；

间歇故障估计误差协方差阵为：

Q^θ(k)＝M^θ(k)H(k)M^θT(k) (16)；

且有：

s.t.M^θ(k)CF^θi(k-1)＝I^θi(k-1)for i＝1,...,q (18)；

式(15)中，P⁰(k|k)为的最小均方误差矩阵，故式(17)求解等价为式(18)求解，而(18)式可通过拉格朗日乘子法解得，令：

其中，λ^θi(k)∈R^q,1为拉格朗日乘子，且当λ^θi(k)＝0时ρⁱ(k-1)＝0，λ^θi(k)≠0时ρⁱ(k-1)＝1；

分别令M^θ(k)，λ^θi(k)求导等于0，有：

当导数为0时，能够获得最优估计值；

其中，式(19a)解为：

定义λ^θ(k)＝[λ^θ1(k) λ^θi(k) λ^θq(k)],F^θ(k)＝[F^θ1(k) F^θi(k) F^θq(k)]；

则式(20)可重写为：

将重写后的式(20)带入式(19b)中，可得：

-λ^θ(k)(CF^θ(k-1))^TH^-1(k)CF^θ(k-1)＝I^θ(k-1) (21)；

其中，拉格朗日乘子λ^θ(k)有λ^θ(k)＝[λ^θ1(k) λ^θi(k) λ^θq(k)]∈R^q,q，且已知 故式(21)解为：

λ^θ(k)＝-I^θ(k-1)[(CF^θ(k-1))^TH^-1(k)CF^θ(k-1)]⁺＝[(CF^θ(k-1))^TH^-1(k)CF^θ(k-1)]⁺ (22)；将式(22)代入M^θ(k)＝-λ^θ(CF^θ(k-1))^TH^-1(k)，则可得定理1中(7d)，定理1证明完毕。