[发明专利]基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法

说明书

本发明公开了一种基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法，步骤包括：采用微分代数方法预报非线性系统的终端状态，并表示为关于初始状态偏差的高阶泰勒展开多项式；确定子高斯分布协方差矩阵，针对各个子高斯分布打靶拟合高斯和模型；计算子高斯分布高阶中心矩；确定各子高斯分布在终端时刻的均值和协方差矩阵，给出高斯和形式的终端状态偏差分布概率密度函数。本发明能够自动拓展至任意指定阶偏差演化精度，无需手动推导动力学方程的高阶偏导数，适用于非线性强和长时间预报的非线性系统偏差演化分析问题，在精确描述偏差分布及其非高斯性的同时，仍能保持相对Monte Carlo仿真方法的显著效率优势，具有使用方便、计算精度高的优点。

技术领域

本发明涉及航天器轨道动力学领域，具体涉及一种基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法，用于非线性系统的状态及其偏差预报。

背景技术

航天器轨迹偏差演化技术是开展空间碰撞预警、航天器轨道确定、导航滤波以及航天器轨迹安全性分析与设计等航天任务的重要基础技术。轨迹偏差的预报精度直接影响了预警、定轨和导航结果的可信度，甚至决定着航天任务的成败。由于航天器轨道动力学模型的实质就是一个常微分方程组或状态转移方程形式的非线性系统，因此航天器轨迹偏差演化问题实质就是非线性系统状态偏差预报问题。

经典的非线性系统偏差演化方法是线性化协方差分析方法和MonteCarlo仿真方法。线性化协方差分析法，先将非线性动力学系统线性化，再采用线性系统协方差分析方法进行偏差预报计算，该方法使用简单、计算量小，但是对强非线性系统或长时间偏差演化预报问题计算误差较大。MonteCarlo仿真方法，通过统计多次打靶试验结果可以得到高精度的状态偏差演化结果，但是使用该方法需要进行大量抽样仿真，计算量大，很多情况下计算效率难以满足任务需求。

微分代数方法是一种在数值环境下计算非线性映射关于自变量的高阶偏导数的方法，利用这些高阶偏导数可以对非线性系统进行任意阶次的泰勒展开，进而使用高阶多项式预报系统状态变量。该方法最初由美国密歇根大学粒子物理学教授MartinBerz提出，基本原理可见参考文献：Berz M.Differential algebraic description of beamdynamics to very high orders[J].Part.Accel.,1988,24(SSC-152):109-124。目前国内尚未有应用该方法进行非线性动力学系统偏差预报的研究或应用成果。

高斯和模型是以多个子高斯分布加权和的形式描述系统状态偏差分布的方法，可用于准确描述非高斯分布的状态偏差概率密度函数。本发明面向一般的非线性动力学系统，系统动力学模型可以是状态转移方程形式，或常微分方程形式，利用微分代数方法求解终端状态关于初始状态偏差的高阶多项式，进而采用高斯和模型拟合初始状态偏差分布，并基于前述高阶多项式预报终端时刻的各子高斯分布，以此来准确描述终端状态的非高斯分布特性。

发明内容

本发明要解决的技术问题：针对现有技术的上述问题，提供一种能够自动拓展至任意指定阶偏差演化精度，无需手动推导动力学方程的高阶偏导数，适用于非线性强和长时间预报的非线性系统偏差演化分析问题，在精确描述偏差分布及其非高斯性的同时，仍能保持相对MonteCarlo仿真方法的显著效率优势，使用方便、计算精度高的基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法。

为了解决上述技术问题，本发明采用的技术方案为：

一种基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法，用于航天器轨迹偏差演化，该方法的步骤包括：

1)输入非线性系统的动力学方程、偏差演化阶数N、初始状态相对标称值和初始偏差协方差矩阵P₀；

2)采用微分代数方法，针对非线性系统的动力学方程预报非线性系统的终端状态，并表示为关于初始状态偏差δx₀的高阶泰勒展开多项式；