[发明专利]一种基于最小二乘法的曲线拟合方法

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于最小二乘法的曲线拟合方法，属于数值分析和可靠性技术领域。

背景技术

在科学试验和工程应用中有很多函数，它的解析表达式是不知道的。比如，惯性器件随着贮存时间的延长，其性能和参数会有所变化，但该变化过程仅能通过实验观测的方法测得一系列节点x_i上的值f_i。现在的问题是寻求测试点序列的逼近函数y(x)，或用几何语言来说就是寻求一条曲线y(x)来拟合(平滑)这n个点。

传统的曲线拟合方法是采用最小二乘法，要求

其中，

则称y(x)为f(x)关于权系数{ω_i}的最小二乘逼近，并称上述准则求逼近函数y(x)的方法为最小二乘法。在上式中，{ω_j(x)}为线性无关的函数集，{a_j}为对应的系数集。

在统计惯性仪表的失效数据时，根据多个测试点来确定失效分布函数曲线并预测产品寿命。分布函数一般包括：指数分布、威布尔分布、极值分布、对数正态分布等。由于这些函数都是非线性方程，在求解分布函数的具体参数时，先对模型进行线性化，再通过最小二乘法求解参数。在参考文献(“温度应力下的加速度计贮存寿命评定”，《装甲兵工程学院学报》，Vol.28No.3，2014年，P28)中也介绍到该方法。比如，以威布尔分布为例，其分布模型为

其中，t为时间变量，m和η为定常参数。

由于威布尔分布为非线性方程，直接根据测量值求解参数m和η较困难，为此，可对其进行变换。定义A＝[ln(T) -I_k×1]、Y＝ln(-ln(1-F))，其中，T＝[t₁,t₂,…,t_n]^T，F＝[f₁,f₂,…,f_n]^T，可把下式变换为

ln(-ln(1-F))＝mln(t)-mln(η)

变换为

根据多个测试点由最小二乘法，可得

根据上式就可求解出参数m和η，进而给出拟合结果。

以参考文献(“温度应力下的加速度计贮存寿命评定”，《装甲兵工程学院学报》，Vol.28 No.3，2014年，P28)中的表1为例，设惯性仪表——加速度计在25℃的条件下进行自然贮存环境试验的失效数据(每次检测时抽样的样本量均为100个)，试验结果为

表1试验失效数据统计情况

采用上述变化后的方程，可求解出m＝1.7618596、η＝49.748074。如图2所示为给定的测量序列及其线性变换后的拟合曲线，图中“*”点为表1中的试验数据，“o”点为拟合值。可以看出，二者还是有较大的差距。

分析原因，主要是最小二乘法只能保证最小，而不能保证最小。

为此，需要研究一种在最小约束条件下的曲线拟合方法。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的上述缺陷，提供一种基于最小二乘法的曲线拟合方法，该方法能够通过精确迭代解算的方式，准确给出拟合函数的各项系数，使拟合的误差平方和最小。

本发明的上述目的主要是通过如下技术方案予以实现的：

一种基于最小二乘法的曲线拟合方法，包括如下步骤：

(1)、给定时间序列{t_i}对应的测量序列{f_i}，i＝1,2,…,n；

(2)、确定与时间有关的曲线拟合函数F(a₁,a₂,…,a_j,t)，其中：a₁,a₂,…,a_j为待求解的定常参数，t为时间变量，j为正整数；

(3)、给定所述待求解的定常参数a₁,a₂,…,a_j的初值a₁₍₀₎,a₂₍₀₎,…,a_j(0)；