[发明专利]一种基于PETSc的GCRO-DR算法并行处理方法

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于PETSc(Portable,Extensible,Toolkit for Scientific Computation)的GCRO-DR(Generalized Conjugate Residual with Orthogonalization with Deflated Restarting)算法的并行处理方法，属于计算机技术领域。

背景技术

Krylov子空间迭代法是求解稀疏方程组比较流行的一类方法，于1951年由俄国人Nikolai Krylov提出，该类方法具有占用内存小，实用性强的特点，广泛应用在气象、湍流模拟、天体物理、油藏模拟等科学计算和实际应用中。Krylov子空间迭代法很多，如求解对称正定方程组的CG(Conjugate Gradient)，求解非对称方程组的GMRES(Generalized Minimum RESidual)，GCR(Generalized Conjugate Residual)等，这些方法一直是国际上研究的热点，为了改善收敛性，新的演进算法不断被提出，GCRO-DR就是其中的一个,它是2006年由Michael L.Parks提出的。该算法是GMRES的演进版GMRES-DR和GCR的演进版GCROT组合得到的，其不仅能改善求解单个方程组的收敛性，更能改善求解由若干个相似方程组组成的线性系统的整体收敛性。

由于实际应用中计算问题规模很大,计算时间很长,单单使用串行的算法很难满足应用需求,为了能够在高性能计算机系统上应用Krylov子空间的这些算法，国内外有学者已经进行了很多研究。在1995年，法国科学家JOCELYNE ERHEL就提出了GMRES算法的分布式并行版本，Maria Sosonkina等人分析了GMRES并行实现的可扩展性，Maria Sosonkina等人提出了GPU上该方法的并行方案，2010年，D′esir′e NUENTSA WAKAM_等人基于PETSc软件包提出了截断GMRES方法的并行实现。PETSc软件包也实现了GMRES各种版本的并行，包括FGMRES、AGMRES、DGMRES等，在实际应用中被广泛使用。2008年，E.ULLMANN研究了GCRO-DR算法，并将其应用到二阶椭圆随机偏微分方程中，2007年，CHAO JIN等人将该算法运用到随机椭圆方程中，2013年，CUI CONG等人将该算法运用到随机椭圆型方程中。从这些工作中可以看出，GCRO-DR算法收敛性更好，但是串行算法计算很慢，很难满足实际应用的需求，本发明即是为了解决该算法求解速度较慢的问题，提出了一种并行处理方法，使用户能够快速使用该算法求解实际应用问题。

发明内容

本发明技术解决问题：克服现有技术花费时间较长的不足，提出一种基于PETSc的GCRO-DR算法并行处理方法可快速求解实际应用中产生的稀疏线性系统，大幅降低求解时间。

本发明主要针对该算法中几个核心部分包括总体并行方案、数据结构定义、Reduced QR分解、正交化过程、特征值及特征向量的计算、最小二乘问题的计算提出实现方案。通过这几部分的并行实现，可以组成整个GCRO-DR基于PETSc的并行实现，从而可以通过PETSc库来进行调用，方便科学计算领域用户的使用。

本发明的技术方案为，基于PETSc的GCRO-DR算法并行处理方法，包括如下步骤：

(1)总体并行方案

a)迭代所需的矩阵和向量分布在各个处理器上，每个处理器拥有一部分；

b)求解第一个稀疏线性系统时，先并行进行Arnoldi迭代，该迭代过程主要进行的是向量矩阵操作，调用PETSc相应函数即可实现；迭代过程中产生的hessenberg矩阵每个处理器各存储一份，并分别计算特征值和特征向量，然后分别形成Reduced QR分解所需的矩阵，每个处理器通过调用LAPACK函数dlarfg和dlarf分别进行QR分解，但是在分解过程中不显示存储Q，直接形成回收矩阵C_k。后续迭代过程中，采用类似的方案进行处理。在求解第二个及后续的系统时，先并行求解回收矩阵C和U，再进行和第一个系统类似的迭代过程，总体并行方案见图1。

(2)数据结构