[发明专利]一种通过计算零维三角多项式系统所有实根及其重数进行曲面绘制的方法和系统

说明书

技术领域

本发明涉及计算机三维建模技术，特别是涉及一种通过计算零维三角多项式系统所有实根及其重数进行曲面绘制的方法和系统。 

背景技术

确定给定代数曲面的几何和连接关系，并用网格近似表示曲面是计算机图形学和几何建模的一个重要课题。曲面网格化可以正确地显示曲面，也可以用来展示曲面上的工程应用，例如有限元分析、计算机三维建模、计算机辅助设计、对象三维重建等应用。 

如何绘制出给定的隐式方程确定的曲面是近年来颇为流行的一个课题。最流行的就是Marching Cube方法，将给定的空间不断细分为更小的立方体，直到每个小立方体中曲面的几何结构都能够被确定(参见LORENSEN，W.E.，AND CLINE，H.E.1987.Marching cubes：a high resolution 3d surface construction algorithm.In Proc.SIGGRAPH 1987，ACM Press.).Plantinga和Vegter提出了法线变化条件从而给出更好的网格化算法(参见PLANTINGA，S.，AND VEGTER，G.2004.Isotopic implicit surface meshing.In Proc.Symp.on Geometry Processing，251-260.PLANTINGA，S.，AND VEGTER，G.2007.Isotopic meshing of implicit surfaces.The Visual Computer 23，45-58.).Hart等提出了基于Morse理论的算法(参见HART，J.C.1998.Morse theory for implicit surface modeling.In Mathematical Visualization，Springer-verlag，H.Hege and K.Polthier，Eds.，257-268.)，该算法引入一个变元来确定曲面的几何结构。这些算法都是纯粹的数值方法，直接对曲面网格化，速度较快，但是都只能处理无奇点的曲线或曲面，对有奇点的几何对象，可能会绘制出错误的图形。 

近年有些学者提出符号数值混合算法，先用柱形代数方法将欧氏空间分为柱形胞腔，使给定曲面在每个胞腔中都不变号，从而得到一种计算曲面几何结构的新方法。这类方法的基本步骤都是先通过分解空间确定曲面的几何结构和连接关系，然后再将非奇部分网格化(参见D.S.Arnon，G.Collins，and S.Mccallum，1988.Cylindrical algebraic decomposition，iii：an adjacency algorithm for three-dimensional space.J.Symbolic Comput.5，1，2，163-187.J.S.Cheng，X.S.Gao，and M.Li，2005.Determine the topology of real algebraic surfaces.In Mathematics of Surfaces，Springer-Verlag，121-146.S.Mccallum，and，G.E.Collins，2002.Local box adj acency algorithms for cylindrical algebraic decompositions.J.Symbolic Comput.33，321-342.B.Mourrain，and J.P.Tecourt，2005.Computing the topology of real algebraic surfaces.In MEGA electronicproceedings.)。在这种方法中，如何进行空间的分解就显得尤为重要，空间分解一般是通过确定曲面的奇点，以及曲面在奇点处的连接关系来得到。曲面的奇点是一个零维三角多项式系统的实根，奇点连接着的分枝数，即该奇点的重数，就是对应实根的重数。